Odwzorowanie liniowe

[lambdag]

\(\displaystyle{ f:\RR^3\to\RR^4}\)
\(\displaystyle{ g:\RR^4\to\RR^3}\)
\(\displaystyle{ f(x,y,z) = (x+y,x-y,x+z,x+y+z)}\)
\(\displaystyle{ g(x,y,z,t) = (x+z,y-t,z-t)}\)
Wyznaczyć macierz odwzorowania: \(\displaystyle{ h:(g \cdot f)^{-1} -2(g \cdot f)}\)

\(\displaystyle{ M_f=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1& 1 & 1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ M_g=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ (g \cdot f) = M_f\cdot M_g}\)

Tylko po pomnożeniu tych macierzy dostaje taką macierz która nie da się obrócić, wyznacznik równa się zero, czyli mam po prostu stosowny komentarz zamieścić czy ja coś źle robię?

[SlotaWoj]

Tylko po pomnożeniu tych macierzy dostaje taką macierz która nie da się obrócić, wyznacznik równa się zero, czyli mam po prostu stosowny komentarz zamieścić czy ja coś źle robię?

• \(\displaystyle{ \det\left(M_f\cdot M_g\right)\neq0}\)

[lambdag]

Niemożliwe sprawdzałem kilka razy kalkulatorem macierzy
Albo ja jestem jakiś zepsuty albo ten kalkulator...

[Zymon]

\(\displaystyle{ \det\left(M_f\cdot M_g\right)}\) jest istotnie równy \(\displaystyle{ 0}\), ale \(\displaystyle{ \det\left(M_g\cdot M_f\right)=-2}\) i to takie macierze powinieneś pomnożyć.

EDIT : Żeby nie było, to stwierdzenie ma umocowanie w algebrze, to nie tak, iż powiedziałem że musisz pomnożyć odwrotnie tylko dlatego, że wychodzi.

[SlotaWoj]

Pomnożyłem, to co trzeba, czyli \(\displaystyle{ M_g\cdot M_f}\), bo tak są składane odwzorowania w definicji \(\displaystyle{ h}\) , ale pisząc:

• \(\displaystyle{ \det\left({\red{M_f\cdot M_g}}\right)\neq0}\)

to co zaznaczyłem skopiowałem od Ciebie i nie zwróciłem uwagi, że odwróciłeś kolejność czynników, a zauważył Zymon.

[lambdag]

Wow nie widziałem że zamiana tworzy takie zmiany, dzięki mam nauczkę że muszę dobrze składać...

[a4karo]

Złożenie \(\displaystyle{ f\circ g:\RR^4\to\RR^4}\) musi mieć wyznacznik zerowy, bo przecież obraz \(\displaystyle{ g}\) ma wymiar co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) , więc obraz \(\displaystyle{ f\circ g}\) też ma wymiar co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\) , więc nie może być odwracalne.