Odległość od przekątnej

[Matiks21]

Hej.

Mam nierówność, której nie wiem jak sprytnie ruszyć.

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą punktami w \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) .
Jeżeli \(\displaystyle{ ||a-c|| < ||a-d||\ \wedge\ ||b-c|| < ||b-d||}\) , to \(\displaystyle{ ||a + t \cdot (b-a) - c|| <||a + t \cdot (b-a) - d||}\) .

Proszę o wskazówkę.

[bartek118]

Czy próbowałeś rozpisać to na iloczynach skalarnych? Wystarczy wykazać, że:
\(\displaystyle{ \| a + t\cdot (b-a) - c \|^2 <\|a + t\cdot (b-a) - d\|^2}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \| a + t\cdot (b-a) - c \|^2 = \langle a + t\cdot (b-a) - c, a + t\cdot (b-a) - c \rangle}\)
Teraz skorzystać z dwuliniowości, wykorzystać założenia (też przepisane na iloczyn skalarny) itd. Powinno wyjść.

[Matiks21]

Nie wiem jak udowodnić:
\(\displaystyle{ \langle b-a, a-c \rangle < \langle b-a , a-d \rangle}\)