Macierz odwzorowania w bazie kanonicznej

[Cassandra19x]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A}\) odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f:\RR^3\to\RR^3}\) , w bazie \(\displaystyle{ B=((1,2,0),\:(0,0,-1),\:(-1,2-1))}\) .

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 2 & 1 \\
-1 & 4 & 1
\end{bmatrix}}\)

a) Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ A'}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) w bazie kanonicznej.
b) Dwoma sposobami, z \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A'}\) wyznaczyć \(\displaystyle{ f(2,0,1)}\) .

Jak to zrobić?

[Zymon]

Skorzystaj ze wzoru

\(\displaystyle{ M ^{st} _{st}(F)=M ^{B} _{st}(Id)\cdot M ^{B} _{B}(F)\cdot M^{st} _{B}(Id)}\)

Gdzie w indeksie górnym zapisuję bazę dziedziny.

[Cassandra19x]

Mógłbyś rozwiązać to na moim przykładzie?

[Zymon]

Nie ma tutaj co rozwiązywać tak naprawdę. Macierze sama możesz sobie wrzucić w program który Ci je odwróci i przemnoży, mogę jednak trochę rozwinąć ideę. Zauważ, że \(\displaystyle{ F}\) jest operatorem liniowym tak więc macierz zmiany bazy \(\displaystyle{ M ^{B} _{st}(Id)}\) jest odwracalna, a jej odwrotność jest równa \(\displaystyle{ M^{st} _{B}(Id)}\). Pożytek z tego taki, że pierwszą macierz masz de facto za darmo, gdyż jest to przekształcenie identycznościowe, więc jedyne co musisz zrobić to wziąć wektor z bazy \(\displaystyle{ B}\) i wpisać kolumnami do macierzy jego współrzędne w bazie kanonicznej. Sęk w tym, że to jest to samo. Tak więc przepisujesz \(\displaystyle{ B}\) kolumnami w macierz i masz \(\displaystyle{ M ^{B} _{st}(Id)}\). Odwracasz i masz \(\displaystyle{ M^{st} _{B}(Id)}\). Zostaje tylko pomnożyć z odpowiednich stron, wedle wzoru.

[Cassandra19x]

Okej, dzięki, chyba zrozumiałam. A co teraz z podpunktem b)?

[Zymon]

Zakładamy, że wektor \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) podany jest w bazie standardowej. Obliczyć wartość za pomocą \(\displaystyle{ A'}\) jest prosto. Po prosto mnożysz macierz z prawej strony przez ten wektor. Aby obliczyć na podstawie \(\displaystyle{ A}\), najpierw musisz znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\), a następnie przemnożyć ten wektor współrzędnych przez \(\displaystyle{ A}\) z prawej strony. Formalnością jest już powrót ze współrzędnych B do współrzędnych standardowych.

[Cassandra19x]

Okej już rozumiem. A teraz jakbym chciała uzyskać f tego przekształcenia żeby podać jego własności to co mam zrobić?

[Zymon]

Nie do końca rozumiem pytanie. Co to oznacza uzyskać f przekształcenia? I o jakich własnościach mówisz? Czy jest monomorfizmem, epimorfizmem itd.? Czy może chodzi Ci po prostu o wzór analityczny? Sprecyzuj pytanie, proszę.

[Cassandra19x]

Chodzi mi o uzyskanie wzoru przekształcenia na podstawie którego będę mogła określić czy przekształcenie jest monomorfizmem, epimorfizmem i tak dalej.

[Zymon]

Aby wyciągnąć wzór analityczny wystarczy, macierz w bazach standardowych pomnożysz przez wektor kolumnowy \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) ale wątpię byś z tego coś wyczytała. Według mnie powinnaś wyznaczyć jądro i obraz.