Baza podprzestrzeni liniowej przestrzeni wielomianów.

[peroxide]

Mam podprzestrzeń liniową \(\displaystyle{ W=\left\{ w \in \mathbb{R}\left[ x\right] _{2} \: : \: w\left( -1\right)=0 \right\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}\left[ x\right] _{2}}\)
Jak wyznaczyć bazę takiej podprzestrzeni? Wiem jak to jest w przypadku, gdy mam określony wzór ale tutaj nie wiem jak to ugryźć. Ma ktoś dla mnie jakąś pomocną wskazówkę?

[a4karo]

A znasz jakieś wielomiany stopnia 1 i 2, które leżą w tej przestrzeni?

[peroxide]

To przykładowo \(\displaystyle{ x+1, \: x^2+x, \: 2x+2}\) itp

[a4karo]

No włąśnie. Spróbuj pokazać, że te dwa pierwsze tworzą bazę. Wsk: jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P}\) to dzieli sie on przez \(\displaystyle{ x-a}\)

[karolex123]

Można także opisać tą podprzestrzeń jednym równaniem liniowym. Ponieważ wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x] _{2}}\) jest równy \(\displaystyle{ 3}\), to mamy dwa wektory w bazie tej podprzestrzeni. Przykładowa baza (która jest efektem rozwiązania wspomnianego równania liniowego) to \(\displaystyle{ \left\{ x ^{2}+x, x+1\right\}}\). To, że te wektory są liniowo niezależne, wynika z następującego wnioskowania:
Załóżmy, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ ax ^{2}+(a+b)x+b=0}\). W szczególności dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ a+b=0}\), zaś dla \(\displaystyle{ x=2}\) mamy \(\displaystyle{ 2a+b=0}\), skąd natychmiast \(\displaystyle{ a=b=0}\).

[peroxide]

Dzięki za odpowiedź.
A dlaczego, gdy wymiar przestrzeni jest równy 3 to mamy 2 wektory? Przecież przykładowo w przypadku przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) wymiar tej przestrzeni jest równy 3 i możemy znaleźć bazę \(\displaystyle{ \left\{ 1,x,x^2\right\}}\) w której znajdą się 3 wektory.

[karolex123]

Wymiar przestrzeni liniowej to po prostu moc bazy tej przestrzeni. Jeżeli zaś mam podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), przy czym \(\displaystyle{ \dim V =n}\), opisaną \(\displaystyle{ m}\) niezależnymi liniowo równaniami, to wymiar tej podprzestrzeni jest równy \(\displaystyle{ n-m}\) (zauważ, że musi być \(\displaystyle{ m \le n}\), bo liczba \(\displaystyle{ m}\) jest rzędem macierzy odpowiedniego układu równań liniowych).
Natomiast bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) nie jest zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1,x,x^_{2}\right\}}\). Pomyliłeś różne przestrzenie liniowe (chociaż są one akurat izomorficzne )

Dobrze to ujął użytkownik a4karo w poście poniżej

[a4karo]

ALe warunek redukuje wymiar przestrzeni. Przecież nie każdy wielomian go spełnia.

Wszystkie wielomiany należące do \(\displaystyle{ W}\)są postaci \(\displaystyle{ (x+1)(ax+b)}\)

[peroxide]

No tak, pomyliłem z \(\displaystyle{ \mathbb{R}\left[ x\right] _{2}}\)
Ok, teraz już rozumiem, dlaczego tak. Dzięki za pomoc!