Wyznacz jądro i obraz przekształcenia liniowego

[Sased]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: R^4 \rightarrow R^3,}\)
\(\displaystyle{ f(x, y, z, t) = (x - y + z + t, x - 2y + t, 2x - z + t)}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ Im(f) = Lin((1,-1,1,1),(1,-2,0,1),(2,0,-1,1))}\)
Jądro to wszystkie wektory, które są przekształcane w wektor zerowy, więc tworzę układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+z+t=0\\x-2y+t=0\\2x-z+t=0 \end{array}}\)
czyli
\(\displaystyle{ Ker(f) = \left\{(3z, -z, -5z, z); z \in \mathbb R \right\}}\)
zgadza się?

[karolex123]

Obraz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f}\) to zbiór wektorów \(\displaystyle{ f(v)}\), gdzie \(\displaystyle{ v}\) należą do przestrzeni liniowej, na której określone jest to przekształcenje. W naszym przypadku wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ \\R^{4}}\) przechodzą na wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ \\R^{3}}\). Zatem w obrazie nie może być wektorów z przestrzeni \(\displaystyle{ \\R^{4}}\), a Ty tak właśnie stwierdziłeś. Wskazówka do poprawnego wyznaczenia obrazu jest taka: obrazy wektorów z bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \\R^{4}}\) rozpinają \(\displaystyle{ Im f}\).

[Sased]

\(\displaystyle{ Im(f) = Lin((1,1,2),(-1,-2,0),(1,0,-1),(1,1,1))}\)
?

[a4karo]

To prawda, ale tak samo prawdą jest \(\displaystyle{ Im(f)=Lin\{x: x\in\RR^4\}}\)

obrazy tych czterech wektorów w \(\displaystyle{ \RR^3}\) muszą byc liniowo zależne. Wybierz z nich maksymalny układ niezależny

[Sased]

np. takie:
\(\displaystyle{ Im(f) = Lin((1,1,2),(-1,-2,0),(1,0,-1))}\)

[karolex123]

a4karo, w tym przypadku żaden wektor z \(\displaystyle{ \\R ^{4}}\) nie jest przecież w obrazie przekształcenia \(\displaystyle{ f}\). Odpowiedź jest poprawna, o ile chcemy tylko znaleźć \(\displaystyle{ Im(f)}\). Jeśli zależy nam zaś na bazie przestrzeni \(\displaystyle{ Im (f)}\), to powinniśmy wybrać wektory liniowo niezależne z tych czterech (a precyzyjniej ich maksymalną ilość).
Można jednak łatwo zauważyć, że przekształcenie \(\displaystyle{ f}\) jest epimorfizmem, gdyż \(\displaystyle{ \dim ker(f)=1}\), skąd \(\displaystyle{ \dim Im(f)=4-1=3}\). Zatem każda baza przestrzeni \(\displaystyle{ \\R^{3}}\) jest bazą \(\displaystyle{ Im(f)}\).

[a4karo]

Masz absolutną rację. Tak absolutną, że aż nie wiem, co powiedzieć. Może powiem to, że miało być

\(\displaystyle{ Im(f)=Lin\{f(x): x\in\RR^4\}}\)