Macierze przekształceń liniowych

[Czarteg]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi : \RR_{2}[x] \rightarrow \RR_{2}[x]}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ \varphi (ax^2+bx+c)=(2a+c)x^2-4a-2c}\) . Zapisać macierze tego przekształcenia \(\displaystyle{ M^{A}_{A}(\varphi)}\) oraz \(\displaystyle{ M^{B}_{B}(\varphi)}\) , gdy baza \(\displaystyle{ A=(x^2,x,1)}\) , baza \(\displaystyle{ B=(2x-1,x-1,x^2-2x+1)}\) . Podać bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \ker(\varphi)}\) , \(\displaystyle{ \Im(\varphi)}\) . Czy wielomian \(\displaystyle{ x^2-x-2}\) jest wektorem własnym przekształcenia?
Mam problem z tego typu zadaniami, może mi ktoś doradzić jakie kroki podejmować po kolei? Prostrze przykłady jeszcze jakoś mi idą, ale jak dostaje coś takiego, to nie wiem co zrobić. Wiem, że powinienem liczyć jak wyglądają wektory baz w \(\displaystyle{ \varphi}\) , ale mam problem z zapisywanie tych macierzy i nie rozumiem co oznacza \(\displaystyle{ M^{A}_{A}(\varphi)}\) oraz \(\displaystyle{ M^{B}_{B}(\varphi)}\) . Proszę o pomoc.

[karolex123]

Mamy:
\(\displaystyle{ \varphi (1)=x ^{2}-2}\), \(\displaystyle{ \varphi (x)=0}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi (x ^{2})=2x ^{2}-4}\).
Stąd \(\displaystyle{ M^{A}_{A}(\varphi)=\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&0&0\\-4&0&-2\end{array}\right]}\). Wpisujemy po prostu obrazy kolejnych wektorów z bazy \(\displaystyle{ A}\) w kolejne kolumny macierzy, przy czym współrzędne każdego z obrazu muszą być w bazie \(\displaystyle{ A}\) (w kolejnym wierszu macierzy znajduje się kolejna współrzędna obrazu zgodnie z kolejnością wektorów w bazie \(\displaystyle{ A}\)). Podobnie konstruujesz macierz w bazie \(\displaystyle{ B}\).

[Czarteg]

Czyli \(\displaystyle{ M^{B}_{B}(\varphi)=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&2\\-1&0&2\\3&0&-6\end{array}\right]}\)?

[karolex123]

Źle.
Kolejność wektorów w bazie \(\displaystyle{ B}\) ma znaczenie. Ponadto, współrzędne obrazów wektorów z bazy \(\displaystyle{ B}\) muszą być wyrażone w bazie \(\displaystyle{ B}\) (oczywiście w odpowiedniej kolejności)- takiej, a nie innej macierzy szukasz.

[Czarteg]

\(\displaystyle{ M^{B}_{B}(\varphi)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&-2\\-4&-4&12\\-1&-1&4\end{array}\right]}\). Czy teraz jest dobrze? Na początku wyliczyłem wartości wektorów z Bazy B w \(\displaystyle{ \varphi}\), a później rozwiązałem układy równań, wyliczając jak będzie wyglądał każdy wektor w Bazie B.

[karolex123]

Ostatnia kolumna jest źle. Mamy przecież:
\(\displaystyle{ \varphi (x ^{2}-2x+1)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2)}\), a wektor \(\displaystyle{ x ^{2}-2}\) już wiesz jak wyraża się w bazie \(\displaystyle{ B}\). Wystarczy zatem przemnożyć jego współrzędne w bazie \(\displaystyle{ B}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) i gotowe