Długość wektora, prostopadłość wektorów, nierówność

[lukasz_xyz]

Nie za bardzo wiem w jaki sposób rozwiązać te zadanie. Proszę o pomoc.

Dany jest wektor \(\displaystyle{ \vec{a} = (1, \sqrt{2}, -1)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) taki, że \(\displaystyle{ |\vec{b}| = 4}\) i kąt miedzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = \frac{\pi}{4}}\) .

a) Czy długość wektora \(\displaystyle{ \vec{a}-2\vec{b}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{17-4 \sqrt{2} }}\) ?
b) Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ 2|\vec{a}| > |\vec{b}|}\) ?
c) Czy wektor \(\displaystyle{ 2\vec{a}+\vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 2\vec{a}-\vec{b}}\) ?

Ad. a)
\(\displaystyle{ |\vec{a}| = \sqrt{1+2+1} = 2}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \vec{a}-2\vec{b} = 2-4}\) ?
Wydaje mi się, że coś tutaj nie gra, więc wolę nie pogrążać się rozpisując przykład b jak zrobiłem...

Ad. c)
Wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny jest prostopadły, więc skorzystałem z tego wzoru, jednakże nie wiem co z tym dalej zrobić...
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = 4 \sqrt{2}}\)

Przepraszam, jeżeli zamieściłem wątek do złego działu.

[kerajs]

Dany jest wektor \(\displaystyle{ \vec{a} = (1, \sqrt{2}, -1)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) taki, że \(\displaystyle{ |\vec{b}| = 4}\) i kąt miedzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = \frac{\pi}{4}}\) .

a) Czy długość wektora \(\displaystyle{ \vec{a}-2\vec{b}}\) wynosi \(\displaystyle{ 2 \sqrt{17-4 \sqrt{2} }}\) ?
b) Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ 2|\vec{a}| > |\vec{b}|}\) ?
c) Czy wektor \(\displaystyle{ 2\vec{a}+\vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 2\vec{a}-\vec{b}}\) ?

Ad. a)
\(\displaystyle{ |\vec{a}| = \sqrt{1+2+1} = 2}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \vec{a}-2\vec{b} = 2-4}\) ?
Wydaje mi się, że coś tutaj nie gra, więc wolę nie pogrążać się rozpisując przykład b jak zrobiłem...

\(\displaystyle{ \left| \vec{a}-2\vec{b}\right|^2=(\vec{a}-2\vec{b})\circ (\vec{a}-2\vec{b}) \\
\left| \vec{a}-2\vec{b}\right|^2=\left| \vec{a}\right|^2 -4\vec{a}\circ \vec{b}+4\left| \vec{b}\right|^2 \\ \\
...}\)

c) Czy wektor \(\displaystyle{ 2\vec{a}+\vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 2\vec{a}-\vec{b}}\) ?

Ad. c)
Wektory są prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny jest prostopadły, więc skorzystałem z tego wzoru, jednakże nie wiem co z tym dalej zrobić...
\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = 4 \sqrt{2}}\)

Masz sprawdzić czy:

\(\displaystyle{ \left( 2\vec{a}+\vec{b}\right) \circ \left( 2\vec{a}-\vec{b}\right)=0}\)

[lukasz_xyz]

\(\displaystyle{ \left| \vec{a}-2\vec{b}\right|^2=(\vec{a}-2\vec{b})\circ (\vec{a}-2\vec{b}) \\ \left| \vec{a}-2\vec{b}\right|^2=\left| \vec{a}\right|^2 -4\vec{a}\circ \vec{b}+4\left| \vec{b}\right|^2 \\ \\}\)

Nie rozumiem... Nie wiem czy jest za późno czy co...
Czemu ta długość jest do kwadratu?

Odnośnie podpunktu c) powinno być:
\(\displaystyle{ (2a+b)\circ(2a-b) = 4a ^{2} -b ^{2} = 16-16=0}\) ?

#edit Jeszcze się zastanawiam, do czego dany jest ten kąt w takim razie w zadaniu.

[a4karo]

#edit Jeszcze się zastanawiam, do czego dany jest ten kąt w takim razie w zadaniu.

Ano do policzenia długości wektora \(\displaystyle{ \vec{a}-2\vec{b}}\).
Zrozumiałes już po co był ten kwadrat?

[lukasz_xyz]

Nie

[a4karo]

To poszukaj takiego wzoru: \(\displaystyle{ |\vec{a}|=\sqrt{(a,a)}}\)