Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi : R^2 \rightarrow R^2}\) w pewnej bazie ma macierz:
\(\displaystyle{ A_\phi=\left[\begin{array}{ccc}4&-5&2\\5&-7&3\\6&-9&4\end{array}\right]}\)
Czy istnieje baza w której macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) jest diagonalna? Jeśli
tak, to znaleźć tę bazę i odpowiadającą jej macierz diagonalną.
Macierz diagonalna
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Macierz diagonalna
Macierz \(\displaystyle{ A_{\phi}}\)jest diagonalizowalna, jeśli istnieje odwracalna macierz \(\displaystyle{ P}\) taka, że macierz \(\displaystyle{ D = P^{-1}A_{\phi}P}\) jest diagonalna.
Wyznaczamy zera wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ p_{A_{\phi}},}\) czyli wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A_{\phi}.}\)
Znajdujemy wektory własne - odpowiadające wartościom własnym.
Jeśli wektory własne rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{3},}\) to istnieje baza w której macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi, \ \ A_{\phi}}\) jest diagonizowalna, i wtedy \(\displaystyle{ A_{\phi} = PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną o wartościach na przekątnej - równych kolejnym wartościom własnym, zaś odpowiadające im wektory własne tworzą kolumny macierzy \(\displaystyle{ P.}\)
Znajdujemy bazę \(\displaystyle{ B_{\phi}.}\)
Wyznaczamy zera wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ p_{A_{\phi}},}\) czyli wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A_{\phi}.}\)
Znajdujemy wektory własne - odpowiadające wartościom własnym.
Jeśli wektory własne rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{3},}\) to istnieje baza w której macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi, \ \ A_{\phi}}\) jest diagonizowalna, i wtedy \(\displaystyle{ A_{\phi} = PDP^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną o wartościach na przekątnej - równych kolejnym wartościom własnym, zaś odpowiadające im wektory własne tworzą kolumny macierzy \(\displaystyle{ P.}\)
Znajdujemy bazę \(\displaystyle{ B_{\phi}.}\)