Macierze kwadratowe pokaż że zachodzi równość

[Milo_17]

Cześć
* Niech \(\displaystyle{ A, B, C}\) i \(\displaystyle{ D}\) będą macierzami kwadratowymi \(\displaystyle{ n \times n}\) nad \(\displaystyle{ R}\). Załózmy, że \(\displaystyle{ AB ^{T}}\) oraz \(\displaystyle{ CD ^{T}}\) są symetryczne oraz \(\displaystyle{ AD ^{T}-BC ^{T}= I}\)
Pokaż że \(\displaystyle{ A ^{T}D - C ^{T}B=I}\)

Umiem pokazać że ślad- \(\displaystyle{ tr(AD^{T}-BC^{T})=tr(A^{T}D-C^{T}B)=n}\) myślę że jest to jakiś krok naprzód ale to w zasadzie tyle. Nie wiem jak skorzystać z symetryczności (\(\displaystyle{ AB^{T}=BA^{T}}\) \(\displaystyle{ CD^{T}=DC^{T})}\) Ma ktoś jakiś pomysł lub wskazówkę?

[Premislav]

To mi wygląda na całkiem proste.
Wiemy, że \(\displaystyle{ AD^T=(AD^T)^T}\) oraz \(\displaystyle{ BC^T=(BC^T)^T}\) (bo macierze z zadania są symetryczne), to teraz wystarczy skorzystać z takiego fakciku, że
\(\displaystyle{ (XY)^T=Y^T X^T}\) dla macierzy \(\displaystyle{ X, Y}\) o odpowiednich wymiarach (takich żeby rozważanie iloczynu miało sens).

[Milo_17]

Hmm ale przecież wiemy tylko że \(\displaystyle{ AB^{T}=(AB^{T})^{T}}\) o iloczynie \(\displaystyle{ AD^{T}}\) takiej informacji w poleceniu nie ma.

[Lider_M]

Podpowiedź 1:    

Wykorzystaj założenia i wstaw macierze z treści zadania w miejsca \(\displaystyle{ \star}\), by otrzymać następującą równość na 'macierzach blokowych':
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \star & \star \\ \star & \star\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc} \star & \star \\ \star & \star\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \mathbb{I}_n & \mathbb{O}_n \\ \mathbb{O}_n & \mathbb{I}_n\end{array}\right]=\mathbb{I}_{2n},}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{I}_n, \mathbb{O}_n}\) to odpowiednio macierz jednostkowa i macierz zerowa wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\).

Podpowiedź 2:    

Skorzystaj z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ X, Y\in M_{n\times n}(\mathbb{R})}\) to z równości \(\displaystyle{ XY=\mathbb{I}_n}\) wynika również \(\displaystyle{ YX=\mathbb{I}_n}\).

[Milo_17]

Wow rzeczywiście działa. Ciekawa sprawa nie wpadłbym na taką incepcję macierzoweą. Dziękuję