Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \varphi : \RR ^2 \rightarrow \RR ^3}\) ma w pewnych bazach \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^2}\) i \(\displaystyle{ C}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^3}\) macierz
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
2 & 1\\
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right]}\) , a przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \psi : \RR ^3 \rightarrow \RR ^2}\) ma w pewnych bazach \(\displaystyle{ C'}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^3}\) i \(\displaystyle{ B'}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^2}\) macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0\\
2 & -1 & 2
\end{array}
\right]}\) .
Macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy \(\displaystyle{ B'}\) jest macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
3 & 4\\
2 & 3
\end{array}
\right]
\qquad}\), a macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ C}\) do bazy \(\displaystyle{ C'}\) jest macierz \(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & -1\\
0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{array}
\right]}\) . Wektor \(\displaystyle{ v \in \RR ^2}\) ma w bazie \(\displaystyle{ B}\) współrzędne \(\displaystyle{ (-1,1)}\) , a wektor \(\displaystyle{ w \in \RR ^3}\) ma w bazie \(\displaystyle{ C}\) współrzędne \(\displaystyle{ (3,-1,1)}\) .
Oblicz:
a) współrzędne wektora \(\displaystyle{ \psi \circ \varphi (v)}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\) ,
b) współrzędne wektora \(\displaystyle{ \varphi \circ \psi (w)}\) w bazie \(\displaystyle{ C'}\) .
Więc zacznijmy od podpunktu a.
Moim zdaniem trzeba wyliczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ _B [\psi \circ \varphi ]^B}\) czyli:
\(\displaystyle{ _B [\psi \circ \varphi ]^B= P_{B \rightarrow B'} _B_{'} [\psi ]^C^{'} P_{C' \rightarrow C} _C [\varphi ]^B}\)
Co o tym sądzicie?