Macierz przekształcenia liniowego

[kamilm758]

Stosując wzór na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie baz, znaleźć macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \varphi}\) w podanych bazach ( \(\displaystyle{ B}\) - baza dziedziny, \(\displaystyle{ C}\) - baza przeciwdziedziny):

\(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.4 0}\varphi: \RR^3 \rightarrow \RR^2, \varphi (x,y,z)=(2x+y-z\:,{\dg{3x-}}2y+4z)}\)
\(\displaystyle{ B=\{(3,1,-2),(2,1,1),(-2,4,1)\}}\)
\(\displaystyle{ C=\{(2,-3),(-1,2)\}}\)

Wiem jak zrobić to z definicji, ale tą metoda nie wiem jak. Nawet wzoru nie mam. Ktoś wie o co może w tym poleceniu chodzić?

Edit:
Poprawiłem za kamilm758. SlotaWoj

[Zymon]

Na początek wyznacz macierz przekształcenia w bazach standardowych.
Następnie stosujesz wzór:

\(\displaystyle{ M ^{st} _{st}(\varphi)=M ^{C} _{st} \cdot M ^{B} _{C}(\varphi) \cdot M ^{st} _{B}}\)

Gdzie macierze \(\displaystyle{ M ^{C} _{st} M ^{st} _{B}}\) to macierze przekształcenia identycznościowego. Zauważ, że \(\displaystyle{ M ^{C} _{st}}\) masz za darmo. Jest to baza \(\displaystyle{ C}\) wpisana kolumnami.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \varphi: \RR^3 \rightarrow \RR^2, \varphi (x,y,z)=(2x+y-z,\:3x,\:2y+4z)}\)

Tu jest błąd. Obraz trójki \(\displaystyle{ (x,y,z) \in \RR^3}\) , a ma być \(\displaystyle{ \in\RR^2}\) .

[kamilm758]

Nie mogę zedytować. Wkradł się błąd przy przepisywaniu.

\(\displaystyle{ \varphi: \RR^3 \rightarrow \RR^2, \varphi (x,y,z)=(2x+y-z\:,3x-2y+4z)}\)

-- 20 sty 2018, o 20:01 --

\(\displaystyle{ _C [\varphi ]^B=\begin{bmatrix}
17 & 16 & -12 \\
25 & 28 & -23
\end{array}}\)

Co dalej można zrobić?
Jak wyznaczyć pozostałe macierze?

[Zymon]

Co to za macierz? Wynik?

Zacznijmy od poczatku. Wiesz jak policzyc macierz przekształcenia w bazach standardowych?

[kamilm758]

\(\displaystyle{ e_1=(1,0,0) e_2=(0,1,0) e_3=(0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ v_1=(1,0) v_2=(0,1)}\)

\(\displaystyle{ \varphi (1,0,0)=(2,3)=\alpha (1,0)+ \beta (0,1) \rightarrow \alpha = 2 ,\ \beta =3}\)
\(\displaystyle{ \varphi (0,1,0)=(1,-2)=\alpha (1,0)+ \beta (0,1) \rightarrow \alpha = 1 ,\ \beta =-2}\)
\(\displaystyle{ \varphi (0,0,1)=(-1,4)=\alpha (1,0)+ \beta (0,1) \rightarrow \alpha = -1 ,\ \beta =4}\)

\(\displaystyle{ _s_t [\varphi ]^s^t=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}}\)