znaleźć wzór przekształcenia liniowego

[kamilm758]

Witam, jak znaleźć wzór przekształcenia liniowego?
Proszę o wskazówki
Znajdź wzór przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \varphi : R^3 \rightarrow R^2}\) wiedząc że \(\displaystyle{ \varphi (2,1,3)=(12,-15)}\)
\(\displaystyle{ \varphi (2,4,-1)=(-3,11)}\)
\(\displaystyle{ \varphi (1,1,1)=(4,-4)}\)

[Dreeze]

Potrzebujesz znaleźć
\(\displaystyle{ \varphi(1,0,0) \\ \varphi(0,1,0) \\ \varphi(0,0,1)}\)
Dzięki temu będziesz miał wzór przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi(a, b, c)}\) bezpośrednio z definicji przekształcenia liniowego.

[kamilm758]

\(\displaystyle{ \varphi(1,0,0)=A \\ \varphi(0,1,0)=B \\ \varphi(0,0,1)=C}\)

\(\displaystyle{ 2A+B+3C=(12,-15) \\ 2A+4B-C=(-3,11) \\ A+B+C=(4,-4)}\)
wystarczy rozwiązać ten układ równań?

[Dreeze]

Zgadza się.

[kamilm758]

Obliczone:
\(\displaystyle{ \varphi(1,0,0)=(2,-1) \\ \varphi(0,1,0)=(-1,2) \\ \varphi(0,0,1)=(3,-5)}\)

co teraz?

[Dreeze]

Już praktycznie wszystko masz.
Dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ (a, b, c) \in \RR^3}\) masz wzór tego odwzorowania, \(\displaystyle{ \varphi(a,b,c) = a\varphi(1,0,0)+b \varphi(0,1,0)+c \varphi(0,0,1)}\)

[kamilm758]

\(\displaystyle{ \varphi(a,b,c)=(2a-b+3c),(-a+2b-5c)}\)

[Dreeze]

Tak, tylko zapisuj to w następujący sposób
\(\displaystyle{ \varphi(a,b,c)=(2a-b+3c,-a+2b-5c)}\)