Przekształcenie liniowe

[kamilm758]

Witam, aby pokazać że przekształcenie niej jest liniowe to wystarczy podać przykład. A co zrobić, aby potwierdzić że przekształcenie jest liniowe?

\(\displaystyle{ \varphi : R^3 \rightarrow M_{2 \times 2}, \varphi (x,y,z)=\left[
\begin{array}{cc}
y & 2x-y\\
2x & 3x+2y
\end{array}
\right]
\qquad}\)

tu nie mogę sprawdzać na liczbach, bo dla jednego przykładu może być przekształceniem liniowym, a dla innych może nie być. Co w takim wypadku można zrobić?

[Zymon]

Możesz sprawdzić na niewiadomych. Wprowadź sobie \(\displaystyle{ x ^{'}, y ^{'} z ^{'}}\) Przelicz jaki wynik da Ci \(\displaystyle{ \varphi(x, y, z) + \varphi(x ^{'}, y ^{'} z ^{'})}\) i zobacz czy będzie równy \(\displaystyle{ \varphi (x+x ^{'}, y+y ^{'}, z+z ^{'})}\). Potem to samo dla mnożenia

[Dreeze]

Wystarczy sprawdzić czy zachodzi następujący warunek:
Bierzemy sobie dwa wektory \(\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in \RR^3}\) oraz dwa skalary \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \RR}\) i sprawdzamy, czy
\(\displaystyle{ \varphi(\alpha(x_1,y_1,z_1)+\beta(x_2,y_2,z_2)) = \alpha\varphi(x_1,y_1,z_1) + \beta\varphi(x_2,y_2,z_2)}\)