Czy przekształcenie jest liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
kamilm758
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 8 lut 2013, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 49 razy

Czy przekształcenie jest liniowe

Post autor: kamilm758 »

Czy podane przekształcenie jest liniowe:
Witam, jak sprawdzić czy przekształcenie jest liniowe?
Wiem że sprawdza się \(\displaystyle{ f(v+u)=f(v)+f(u)}\) oraz \(\displaystyle{ f(\alpha v)=\alpha f(v)}\), ale nie umiem tego zastosować.
Jak robi sie to w praktyce?
np na takim przekształceniu.
\(\displaystyle{ \varphi : R^3 \rightarrow R^3, \varphi (x,y,z)=(x+y-z,2y+z,z-3z^2)}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Czy przekształcenie jest liniowe

Post autor: Premislav »

Generalnie ta część z \(\displaystyle{ 3z^2}\) już mocno sugeruje, że należy dążyć do udowodnienia, iż nie jest to przekształcenie liniowe. Aby przekształcenie było liniowe, powinno w szczególności zachodzić
\(\displaystyle{ \varphi(0,0,2)=\varphi((0,0,1)+(0,0,1))=\varphi(0,0,1)+\varphi(0,0,1)=2\varphi(0,0,1)}\),
tymczasem lewa strona jest równa
\(\displaystyle{ (-2,2,-10)}\), zaś prawa \(\displaystyle{ (-2,2,-4)}\). Zatem przekształcenie nie jest liniowe.
Awatar użytkownika
kamilm758
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 8 lut 2013, o 15:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 49 razy

Re: Czy przekształcenie jest liniowe

Post autor: kamilm758 »

a w tym przypadku:

\(\displaystyle{ \varphi : R[x]_3 \rightarrow R^4, \varphi (P)=(P(0),2P'(1),3P''(2))}\)

Jak to przekształcenie może być w \(\displaystyle{ R^4}\) jeśli są podane tylko 3 współrzędne we wzorze przekształcenia.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Czy przekształcenie jest liniowe

Post autor: Dasio11 »

Błąd w treści.
ODPOWIEDZ