Diagonalizowalność macierzy

[Gui]

Cześć! Mam sprawdzić, czy macierz jest diagonizowalna.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\3&1&2\\0&0&2\end{array}\right]}\)
rozwiązując równanie charakterystyczne wychodzą mi dwie wartości własne, \(\displaystyle{ \lambda =1 \vee \lambda =2}\) u tutaj pojawia mi się pytanie, czy w tym momencie mogę stwierdzić, że macierz nie jest diagonizowalna? Bo mając dwa wektory własne, oba należące do \(\displaystyle{ R^3}\), macierz stworzona przez współrzędne tych wektorów nie będzie kwadratowa, a co za tym idzie, nie będzie odwracalna. Dobrze rozumuję? (wektory własne wyszły mi \(\displaystyle{ v_1=(0,y,0)y \in R, v_2=(x,3x+2z,z)x,z \in R}\)).

[NogaWeza]

Mylisz się, masz trzy wektory własne. Pewnie rozwiązywałeś układ równań, po jego parametryzacji wyszło Ci, że \(\displaystyle{ v_2 = (x, 3x +2z, z)}\) i stwierdziłeś, że to jeden wektor własny, a tak nie jest. Zobacz co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ x=0, z=1}\), a potem gdy \(\displaystyle{ x=1,z=0}\).

[Gui]

A mógłbyś podpowiedzieć skąd akurat \(\displaystyle{ x=1,z=0}\) i \(\displaystyle{ x=0,z=1}\)? Bo w sumie dalej nie widzę tego co uwypukliłeś :/ mam 3 niewiadome i 1 równanie, więc wywnioskowałem, że muszą być 2 parametry od których będą zależne współrzędne wektora.

[NogaWeza]

Ok, są dwa parametry.

1) weźmy \(\displaystyle{ x=1, z=0}\), wtedy \(\displaystyle{ w_1 = (1,3,0)}\)

2) teraz \(\displaystyle{ x=0, z=1}\), mamy \(\displaystyle{ w_2 = (0,2,1)}\)

Sprawdź teraz, czy \(\displaystyle{ A w_1 = 2 w_1}\), oraz czy \(\displaystyle{ A w_2 = 2 w_2}\). Oczywiście nie jest to formalny dowód na to, że taki wektor parametryzowany dwoma zmiennymi to tak naprawdę dwa wektory własne, ale sprawdzić i przekonać się na własne oczy nie zaszkodzi.

Jakbyś dalej nie wiedział co mam na myśli, to pisz, spróbuję jakoś inaczej wytłumaczyć.

[Gui]

Czyli tak ogólnie mówiąc, do macierzy zbudowanej z wektorów własnych muszę wpisać 2 razy wektor \(\displaystyle{ v_2=(x,3x+2z,z)}\), czy (bo tak w sumie teraz pomyślałem) rozbić na \(\displaystyle{ (x,3x,0)+(0,2z,z)}\) i wtedy szukać bazy wyciągając \(\displaystyle{ x,y,z}\) przed wektory? Nie wiem, czy o to Ci chodziło, ale tylko takie rozwiązanie widzę ja

[NogaWeza]

Chodzi o to, że wektor własny parametryzowany dwoma zmiennymi to tak naprawdę dwa wektory własne i trzeba oba wpisać do macierzy przejścia. Nie koniecznie musisz rozbijąc to na \(\displaystyle{ (x,3x,0)+(0,2z,z)}\), choć oczywiście możesz i jest to raczej standardowe podejście. Gdybyś się uparł, to mógłbyś sobie najpierw przyjąć \(\displaystyle{ x=123, z = \sqrt{123123121241}}\), a potem \(\displaystyle{ x=1, z=5}\) - dwa powstałe w ten sposób wektory (o ile tylko utworzyłeś je tak, że są liniowo niezależne) ciągle są wektorami własnymi. Jak najbardziej możesz jednak robić go na sumę i w ten sposób uzyskać dwa wektory, bo będą one miały wtedy przyjemniejszą dla oka postać (pojawią się jakieś zera, łatwiej będzie mnożyć przez macierz przejścia złożoną z tych wektorów).