Znajdź macierz

[aolo23]

\(\displaystyle{ L(v)=v'' : \RR_{3}[x] \rightarrow \RR_{3}[x]}\) w bazie \(\displaystyle{ \left\{ 1,x,x^{2},x^{3}\right\}}\)

\(\displaystyle{ L(v)=(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}) =(0+0+2a_{2}+6a_{3}x)}\)

\(\displaystyle{ M^*\left[\begin{array}{ccc} a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0\\0\\2a_{2}\\6a_{3}\end{array}\right]}\)

Zatem \(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&6\end{array}\right]}\)

Poprawne rozumowanie?

[Dreeze]

Mamy macierz

\(\displaystyle{ M= \left[\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
\end{array}
\right]}\)
i bazę \(\displaystyle{ B=\{1,x,x^2,x^3\}}\)
Aby znaleźc macierz odwzorowania \(\displaystyle{ L}\), musimy policzyć parę rzeczy, które zresztą później (w bazach kanonicznych) będziesz zauważał od razu.
Mamy bazę w \(\displaystyle{ R[x]_3}\) czyli:
\(\displaystyle{ e_1 = 1, \\ e_2 = x, \\ e_3 = x^2, \\ e_4=x^3}\)
Aby znaleźc macierz \(\displaystyle{ M}\), musimy policzyć:
\(\displaystyle{ L(e_1) = a_{11} \cdot e_1 + a_{21} \cdot e_2 + a_{31} \cdot e_3 + a_{41} \cdot e_4}\)
czyli mamy:
\(\displaystyle{ L(e_1) = L(1) = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 0 \cdot e_3 + 0 \cdot e_4}\)
\(\displaystyle{ L(e_2) = L(x) = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 0\cdot e_3 + 0 \cdot e_4}\)
\(\displaystyle{ L(e_3) = L(x^2) = 0 + 0 + 2 + 0 = 2 \cdot e_1}\)
\(\displaystyle{ L(e_4) = L(x^3) = 0 + 0 + 0 +6x = 6\cdot e^2 \cdot}\)
Czyli widzisz, już że źle policzyłeś.
Zatem macierz \(\displaystyle{ M}\) powinna wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ M= \left[\begin{array}{cccc}
0&0&2&0\\
0&0&0&6\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{array}
\right]}\)

Teraz sprawdźmy czy nie plotę głupot
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}
0&0&2&0\\
0&0&0&6\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{array}
\right] \cdot \left[\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right]
= \left[\begin{array}{cccc}2a_2&6a_3&0&0\end{array}\right]_B = 2a_2 \cdot 1 + 6a_3 \cdot x =
2a_2 + 6a_3x}\)

Wygląda jakby się zgadzało. Mam nadzieję, że nie będziesz miał już problemu ze znalezieniem macierzy odwzorowania w jakichkolwiek bazach. Tę macierz w bazach kanonicznych widać od razu jak powinna wyglądać.