Znajdź odwzorowanie liniowe

[Gui]

Cześć! Mam takie zadanie: "Znajdź odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: R^4 \rightarrow R^3}\), jeśli \(\displaystyle{ f(1,1,1,1)=(1,3,3)}\), \(\displaystyle{ f(1,0,1,0)=(1,1,-3)}\) oraz \(\displaystyle{ ker f = \left\{(0,0,z,t):z,t \in R\right\}}\). I ogólnie sprawa ma się tak, że wiem jak wykorzystać te pierwsze dwa warunki, ale ten trzeci zdaje mi się wcale nie pomagać. Daje mi on układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} z \cdot a_{1 1}+t \cdot a_{1 4}=0 \\ z \cdot a_{2 1}+t \cdot a_{2 4}=0 \\ z \cdot a_{3 1}+t \cdot a_{3 4}=0\end{cases}}\) (bo wartość odwzorowania od wektora z jądra daje wektor zerowy), ale nie mam pojęcia co mi daje ten układ do całości :/ Cały czas wydaje mi się, że mam mam za mało danych (choć to tylko w moim mniemaniu prawdopodobnie ) Proszę o rozwiązanie, wskazówki do wykorzystanie warunku z jądrem, cokolwiek

[Premislav]

To proste, skoro \(\displaystyle{ \ker f = \left\{(0,0,z,t):z,t \in R\right\}}\), to
w szczególności \(\displaystyle{ f(0,0,1,0)=(0,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f(0,0,0,1)=(0,0,0)}\).
Teraz zapisz dowolny wektor \(\displaystyle{ (x,y,z,t)}\) z \(\displaystyle{ \RR^4}\) w postaci kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ (1,1,1,1), \ (1,0,1,0), \ (0,0,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,0,1)}\).

[Gui]

I te x,y,z,t mam traktować jako jakieś stałe? Bo teoretycznie rozumiem, ale nie umiem (wiem, że to śmieszne, ale widocznie mam trochę klapki na oczach, bo wystarczy liczby zamienić na literki i się gubię)

[Premislav]

Masz \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) traktować jak stałe. Chodzi Ci o to, by znaleźć takie \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, a_4\in \RR}\) (zależne od \(\displaystyle{ x,y,z,t}\) rzecz jasna), że
\(\displaystyle{ (x,y,z,t)=a_1\cdot (1,1,1,1)+a_2\cdot (1,0,1,0)+a_3\cdot (0,0,1,0)+a_4\cdot (0,0,0,1)}\)
Wówczas dla przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f: \RR^4\rightarrow \RR^3}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=a_1\cdot f(1,1,1,1)+a_2\cdot f(1,0,1,0)+a_3\cdot f(0,0,1,0)+a_4\cdot f(0,0,0,1)}\)

Można też kombinować trochę inaczej, tak aby od razu umożliwić sobie zapisanie macierzy \(\displaystyle{ f}\) w bazie standardowej. Mamy \(\displaystyle{ (1,0,0,0)=(1,0,1,0)-(0,0,1,0)}\), więc z liniowości \(\displaystyle{ f}\) jest
\(\displaystyle{ f(1,0,0,0)=f(1,0,1,0)-f(0,0,1,0)=(1,1, -3)-(0,0,0)=(1,1,-3)}\).
Podobnie
\(\displaystyle{ (0,1,0,0)=(1,1,1,1)-(1,0,0,0)-(0,0,1,0)-(0,0,0,1)}\), zatem z liniowości
\(\displaystyle{ f(0,1,0,0)=f(1,1,1,1)-f(1,0,0,0)-f(0,0,1,0)-f(0,0,0,1)}\) i wstawiasz. Jak w ten sposób wyliczysz
\(\displaystyle{ f(1,0,0,0), \ f(0,1,0,0), \ f(0,0,1,0)}\) i \(\displaystyle{ f(0,0,0,1)}\) (te dwa ostatnie masz już za darmo), to macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f:\RR^4\rightarrow \RR^3}\) w bazach standardowych będzie miała w kolumnach kolejno \(\displaystyle{ f(1,0,0,0)}\) (pierwsza kolumna), \(\displaystyle{ f(0,1,0,0)}\) (druga kolumna) itd.