Podaj równanie płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 17 sty 2018, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mława
- Podziękował: 1 raz
Podaj równanie płaszczyzny
Witam. Jak w temacie, potrzebuje pomocy w napisaniu ogólnego równania płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty i prostopadłej do płaszczyzny Oxy. Dane: P1 (0,1,0) P2 (3,0,0) . Znalazłem odpowiedź na forum ale nie za bardzo rozumiem jak to zostało zrobione. Czy jest ktoś kto mógłby mi to wytłumaczyć krok po kroku? Pomocy!!!
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Podaj równanie płaszczyzny
Rysujemy układ współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ Oxyz.}\)
Zaznaczamy punkty \(\displaystyle{ P_{1}= (0,1,0), \ \ P_{2} = (3,0,0).}\)
Tworzymy z tych punktów wektory :
\(\displaystyle{ \vec{OP_{1}}= [ 0-0, 1-0, 0-0]= [0,1,0],}\)
\(\displaystyle{ \vec{OP_{2}} = [3-0, 0-0, 0-0] = [3,0,0],}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}= \vec{P_{1}P_{2}} = [ 3-0, 0-1, 0-0] = [3, -1, 0].}\)
Znajdujemy współrzędne wektora prostopadłego do płaszczyzny (Oxy) rozpiętej przez wektory \(\displaystyle{ \vec{OP_{1}}, \vec{OP_{2}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}= \vec{OP_{1}}\times \vec{OP_{2}}= [0,1,0]\times [3,0,0] = [0, 0, -3].}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\) są wektorami równoległymi szukanej płaszczyzny, która jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy, ( z=0)}\) więc ich iloczyn wektorowy jest wektorem normalnym (prostopadłym) \(\displaystyle{ \vec{n}}\) tej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n} =\vec{u}\times \vec{v} = [3, -1, 0]\times [0, 0, -3] = [3, 9, 0].}\)
Stąd:
Równanie szukanej płaszczyzny i przechodzącej na przykład przez punkt \(\displaystyle{ P_{1}:}\)
\(\displaystyle{ [3, 9, 0]\cdot [x - 0, y - 1, z - 0] = 0,}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot (x-0) +9\cdot (y-1) + 0\cdot (z-0) =0, \ \ x + 3y - 3 = 0.}\)
Zaznaczamy punkty \(\displaystyle{ P_{1}= (0,1,0), \ \ P_{2} = (3,0,0).}\)
Tworzymy z tych punktów wektory :
\(\displaystyle{ \vec{OP_{1}}= [ 0-0, 1-0, 0-0]= [0,1,0],}\)
\(\displaystyle{ \vec{OP_{2}} = [3-0, 0-0, 0-0] = [3,0,0],}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}= \vec{P_{1}P_{2}} = [ 3-0, 0-1, 0-0] = [3, -1, 0].}\)
Znajdujemy współrzędne wektora prostopadłego do płaszczyzny (Oxy) rozpiętej przez wektory \(\displaystyle{ \vec{OP_{1}}, \vec{OP_{2}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}= \vec{OP_{1}}\times \vec{OP_{2}}= [0,1,0]\times [3,0,0] = [0, 0, -3].}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\) są wektorami równoległymi szukanej płaszczyzny, która jest prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy, ( z=0)}\) więc ich iloczyn wektorowy jest wektorem normalnym (prostopadłym) \(\displaystyle{ \vec{n}}\) tej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \vec{n} =\vec{u}\times \vec{v} = [3, -1, 0]\times [0, 0, -3] = [3, 9, 0].}\)
Stąd:
Równanie szukanej płaszczyzny i przechodzącej na przykład przez punkt \(\displaystyle{ P_{1}:}\)
\(\displaystyle{ [3, 9, 0]\cdot [x - 0, y - 1, z - 0] = 0,}\)
\(\displaystyle{ 3\cdot (x-0) +9\cdot (y-1) + 0\cdot (z-0) =0, \ \ x + 3y - 3 = 0.}\)