Prosta równoległa do prostej

[Scoler]

Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej \(\displaystyle{ \frac{x-3}{5} - \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{-2}}\) i przechodzącej przez punkt (-1,0,2)

Wiem o tym, że wektor kierunkowy jest równy (5,2,-2). Zauważyłem, że są to liczby z mianowników podanej prostej, ale nie rozumiem dlaczego akurat bierze się właśnie te liczby. Proszę o pomoc i w miarę łopatologiczne wytłumaczenie.

[janusz47]

Wektor kierunkowy szukanej prostej równoległej musi być równoległy do wektora kierunkowego \(\displaystyle{ [ 5, 2, -2]}\) danej prostej.

Mamy współrzędne punktu należącego do szukanej prostej-równoległej.

[Scoler]

Czyli skoro szukany wektor jest równoległy do podanego wektora to musi być taki sam powiększony o podany punkt.

Czyli:

\(\displaystyle{ \vec{v}=[5,2,-2]}\)
(x,y,z)=(-1,0,2) + t(5,2,-2)
x=-1+5t
y=0+2t
z=2-2t

\(\displaystyle{ \frac{x+1}{5} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{-2}}\)

Choć to nie istotne dla zadania prosta \(\displaystyle{ \frac{x-3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{-2}}\)
przechodzi przez punkt (3,-1,3) tak?

[janusz47]

Co to znaczy " powiększony o dany punkt "?

Taki sam.

Prosta o równaniu:

\(\displaystyle{ \frac{x-3}{5} = \frac{y-1}{2}= \frac{z+3}{-2}}\)

"przechodzi" przez punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (3, 1 -3).}\)