kombinacja liniowa

[kamilm758]

Dla podanej przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wyznaczyć wszystkie takie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\), że wektor \(\displaystyle{ v \in V}\) jest kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\).

a) \(\displaystyle{ V=R^3, v=(3a,5a,3),v_1=(1,2,1),v_2=(3,4,0), v_3=(7,8,-2)}\)

nie mam pomysłu jak zrobić to zadanie. Proszę o jakieś wskazówki.

[karakuku]

Schodkujemy macierz złożoną z \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
3 & 4 & 0 \\
7 & 8 & -2
\end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\
0 &2 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right]}\)

Więc mamy ukł. równań do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases}3a=s \\ 5a=2t\\ 3=-2s+3t \end{cases}}\)

[kamilm758]

czyli ten układ równań musi mieć przynajmniej 1 rozwiązanie?

[karakuku]

Akurat ten ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ a=2}\)