Które z następujących zbiorów są przestrzeniami liniowymi

[NataliaAnna]

Które z następujących zbiorów są przestrzeniami liniowymi nad ciałem R?
1)macierze z M(R) ustalonego rzędu r
2)macierze symetryczne z M(R)
3)macierze antysymetryczne z M(R)
4)macierze z M(R) o zerowym wyznaczniku
5)macierze z M(R) o zerowym śladzie
6)macierze z M(R) o dodatnim śladzie
jak to sprawdzić? wiem jakie warunki musi spełniać zbiór,aby był przestrzenią, jednak w przypadku macierzy nie umiem tego sprawdzić.

edit: czy żadna z macierzy nie będzie przestrzenią liniową, bo macierze nie są grupą abelową?(mnożenie macierzy nie jest przemienne)

[szw1710]

W przestrzeni liniowej mnożymy wektory przez skalary, a nie przez siebie, więc nie ma potrzeby mnożyć macierzy (tutaj wektorami będą macierze) przez siebie. To, że iloczyn macierzowy nie jest przemienny, nie ma tu nic do rzeczy.

Ukryta treść:    

Mnożenie wektorów przez siebie wprowadza kolejną strukturę w hierarchii: algebrę.

[NataliaAnna]

to w takim razie jak sprawdzić,czy podane wyżej macierze są przestrzeniami liniowymi?

[szw1710]

Macierze nie są przestrzeniami liniowymi. Mogą nimi być co najwyżej zbiory macierzy.

Co dokładnie rozumiesz przez \(\displaystyle{ M(\RR)}\)?

[NataliaAnna]

w dolnym indekcie M powinno być jeszcze n. Rozumiem to jako macierze nxn(nie wiem,czy tylko jedno n to błąd w druku,czy chodzi o macierze kwadratowe rozmiaru nxn, dlatego w zapisie jest jedno n)

a w jak uzasadnić to ,że macierze nie są przestrzeniami liniowymi? przygotowuje się do kolokwium i chciałabym wiedzieć dlaczego tak jest a sama niestety do końca tego nie rozumiem.

[szw1710]

Powtarzam, że macierze nie są przestrzeniami liniowymi. Mogą nimi być co najwyżej zbiory macierzy.

Zadanie zrobiłbym następująco.

1. Sprawdź, że \(\displaystyle{ M_n(\RR)}\) jest przestrzenią liniową z dodawaniem macierzy i mnożeniem macierzy przez liczbę jako działaniami.

2. Sprawdź czy każdy ze zbiorów, które wypisujesz, jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_n(\RR)}\). Skorzystaj z warunku równoważnego bycia podprzestrzenią. Mianowicie \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ V}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ w_1-w_2\in W}\) oraz \(\displaystyle{ tw_1\in W}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ w_1,w_2\in W}\) oraz dla każdego skalara \(\displaystyle{ t}\).

Pokażę pierwszy przykład.

Niech macierz \(\displaystyle{ A}\) ma rząd \(\displaystyle{ r}\). Macierz \(\displaystyle{ A-A}\) ma rząd zero, bo jest zerowa. Więc warunek z różnicą nie jest spełniony. Zbiór macierzy ustalonego rzędu nie tworzy podprzestrzeni liniowej przestrzeni \(\displaystyle{ M_n(\RR)}\), więc nie jest przestrzenią liniową.

No to jeszcze drugi.

Różnica dwóch macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną. Iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar jest macierzą symetryczną. Zbiór macierzy symetrycznych jest więc podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M_n(\RR)}\), więc jest przestrzenią liniową.

Resztę przykładów zrób sama posiłkując się powyższymi wskazówkami.

[NataliaAnna]

3) różnica dwóch macierzy antysymetrycznych jest macierzą antysymetryczną, iloczyn macierzy antysymetrycznej przez skalar też jest macierzą symetryczną. więc zbiór macierzy antysymetrycznych jest przestrzenią liniową
to samo w przypadku macierzy o zerowym śladzie i zerowym wyznaczniku
natomiast w przypadku dodatniego śladu już nie, bo ich różnica może dać macierz o śladzie ujemnym.
dobrze?

edit: nie,jednak macierze o zerowym śladzie nie będą przestrzenią linową, bo ich różnica może dać macierz o śladzie niezerowym.

[a4karo]

W dowolnym wymiarze zbiór macierzy rzędu zero jest podprzestrzenią liniową

[NataliaAnna]

nie bardzo wiem jak to tutaj zastosować?do którego podpunktu to się odnosi

[szw1710]

a4karo, masz rację - moje niedopatrzenie. Więc w pierwszym przykładzie odpowiedź jest taka, że jeśli \(\displaystyle{ r>0}\) to zbiór macierzy rzędu \(\displaystyle{ r}\) nie jest podprzestrzenią liniową, zaś jeśli \(\displaystyle{ r=0}\), to jest.

Dziękuję za czujność.-- 14 sty 2018, o 21:34 --NataliaAnna, uwaga a4karo dotyczy mojego niedopatrzenia - zrobiłem pewien błąd w krańcowym przypadku. Mój znamienity kolega to naprawił.

[a4karo]

jednak macierze o zerowym śladzie nie będą przestrzenią linową, bo ich różnica może dać macierz o śladzie niezerowym.

Jesteś pewna?

[NataliaAnna]

nie,dobrze, jednak będzie to też macierz o śladzie zerowym. czyli jest przestrzenią liniową.