Cześć,
mam problem z zadaniem aby rozwiązać równanie kwadratowe w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{13}}\).
\(\displaystyle{ 2x^2+2x+2=0}\). Delta wychodzi -12. Co z tym dalej począć? Czy rozwiązanie jest tylko w liczbach zespolonych?
Proszę o pomoc i z góry dziękuję za wszelkie podpowiedzi.
Równanie kwadratowe w ciele
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równanie kwadratowe w ciele
Co proszę?Czy rozwiązanie jest tylko w liczbach zespolonych?
Równie dobrze (po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 7=2^{-1}}\)) możemy popatrzeć na równanie \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\), a to jest prawie to samo, co \(\displaystyle{ x^3-1=0}\), wyjąwszy \(\displaystyle{ x=1}\) (wzór skróconego mnożenia), czyli szukamy w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}^*}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 3}\) (\(\displaystyle{ x\neq 1}\) i \(\displaystyle{ x^3=1}\), a \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą).
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Równanie kwadratowe w ciele
Pomysł z liczbami zespolonymi wziął się stąd: , chociaż wydawało mi się, że z ciałami ma to mało wspólnego.Premislav pisze:Co proszę?Czy rozwiązanie jest tylko w liczbach zespolonych?
Równie dobrze (po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 7=2^{-1}}\)) możemy popatrzeć na równanie \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\), a to jest prawie to samo, co \(\displaystyle{ x^3-1=0}\), wyjąwszy \(\displaystyle{ x=1}\) (wzór skróconego mnożenia), czyli szukamy w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}^*}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 3}\) (\(\displaystyle{ x\neq 1}\) i \(\displaystyle{ x^3=1}\), a \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą).
-12 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{13}}\) to 1. Czy w jakiś sposób można to wykorzystać? Czy raczej są wskazane przekształcenia jak wyżej?
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Równanie kwadratowe w ciele
No to dlaczego twierdzisz ,że delta wyszła ujemna, skoro jest równa \(\displaystyle{ 1}\)?
Powyżej się, że tak powiem, dostosowałem do Twojego poziomu, bo mówienie o ujemności w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) nie ma sensu!
Pomyśl o tym inaczej, jeśli działasz w ciele liczb rzeczywistych, to nie przeszkadza Ci ujemność delty per se - przeszkadza Ci to, że nie możesz jej spierwiastkować!. Ale przecież jedynkę w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) spierwiastkować możesz.
Powyżej się, że tak powiem, dostosowałem do Twojego poziomu, bo mówienie o ujemności w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) nie ma sensu!
Pomyśl o tym inaczej, jeśli działasz w ciele liczb rzeczywistych, to nie przeszkadza Ci ujemność delty per se - przeszkadza Ci to, że nie możesz jej spierwiastkować!. Ale przecież jedynkę w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) spierwiastkować możesz.