Równanie kwadratowe w ciele

[Mendzik]

Cześć,

mam problem z zadaniem aby rozwiązać równanie kwadratowe w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{13}}\).
\(\displaystyle{ 2x^2+2x+2=0}\). Delta wychodzi -12. Co z tym dalej począć? Czy rozwiązanie jest tylko w liczbach zespolonych?

Proszę o pomoc i z góry dziękuję za wszelkie podpowiedzi.

[leg14]

A ile wynosi \(\displaystyle{ -12}\) w twoim ciele?

[Premislav]

Czy rozwiązanie jest tylko w liczbach zespolonych?

Co proszę?

Równie dobrze (po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 7=2^{-1}}\)) możemy popatrzeć na równanie \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\), a to jest prawie to samo, co \(\displaystyle{ x^3-1=0}\), wyjąwszy \(\displaystyle{ x=1}\) (wzór skróconego mnożenia), czyli szukamy w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}^*}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 3}\) (\(\displaystyle{ x\neq 1}\) i \(\displaystyle{ x^3=1}\), a \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą).

[arek1357]

W zdrowym ciele zdrowe ciele...

[Mendzik]

Czy rozwiązanie jest tylko w liczbach zespolonych?

Co proszę?

Równie dobrze (po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ 7=2^{-1}}\)) możemy popatrzeć na równanie \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\), a to jest prawie to samo, co \(\displaystyle{ x^3-1=0}\), wyjąwszy \(\displaystyle{ x=1}\) (wzór skróconego mnożenia), czyli szukamy w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}^*}\) elementów rzędu \(\displaystyle{ 3}\) (\(\displaystyle{ x\neq 1}\) i \(\displaystyle{ x^3=1}\), a \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą).

Pomysł z liczbami zespolonymi wziął się stąd: , chociaż wydawało mi się, że z ciałami ma to mało wspólnego.

-12 w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{13}}\) to 1. Czy w jakiś sposób można to wykorzystać? Czy raczej są wskazane przekształcenia jak wyżej?

[leg14]

No to dlaczego twierdzisz ,że delta wyszła ujemna, skoro jest równa \(\displaystyle{ 1}\)?

Powyżej się, że tak powiem, dostosowałem do Twojego poziomu, bo mówienie o ujemności w \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) nie ma sensu!

Pomyśl o tym inaczej, jeśli działasz w ciele liczb rzeczywistych, to nie przeszkadza Ci ujemność delty per se - przeszkadza Ci to, że nie możesz jej spierwiastkować!. Ale przecież jedynkę w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{13}}\) spierwiastkować możesz.