Kod: Zaznacz cały
https://www.fotosik.pl/zdjecie/pelne/6174bd30fd3d7db5Pozdrawiam serdecznie.
Dekompozycja LU
-
koziollbk
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 29 kwie 2017, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lębork
- Podziękował: 1 raz
Dekompozycja LU
Witam. Czy mógłby ktoś wytłumaczyć metodę dekompozycji LU na macierzy z załącznika (skąd się biorą liczby w macierzach L i U )
Pozdrawiam serdecznie.
Pozdrawiam serdecznie.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Dekompozycja LU
Rozwiązywanie układu równań \(\displaystyle{ A\cdot \textbf x = \textbf b}\) metodą rozkładu \(\displaystyle{ LU}\) składa się z dwóch etapów:
Etap I
Rozkład macierzy \(\displaystyle{ A = L\cdot U}\) na iloczyn macierzy trójkątnej dolnej \(\displaystyle{ L}\) i macierzy trójkątnej górnej \(\displaystyle{ U}\).
Etap II
Rozwiązanie dwóch układów równań:
\(\displaystyle{ L\cdot \textbf y = \textbf b}\)
\(\displaystyle{ U\textbf x = \textbf y}\)
Etap I
Dla \(\displaystyle{ i =1}\) obliczamy pierwszy wiersz macierzy \(\displaystyle{ U}\) :
\(\displaystyle{ u_{11}= a_{11}=1}\)
\(\displaystyle{ u_{12} =a_{12} =4}\)
\(\displaystyle{ u_{13}= a_{13} = 4}\)
oraz pierwszą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ L}\) :
\(\displaystyle{ l_{21}= \frac{a_{11}}{u_{11}}= \frac{1}{1}=1}\)
\(\displaystyle{ l_{31}= \frac{a_{31}}{u_{11}}= \frac{1}{1}=1}\)
Dla \(\displaystyle{ i=2}\) obliczamy drugi wiersz macierzy \(\displaystyle{ U}\) (począwszy od głównej przekątnej) oraz drugą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ L}\) (poniżej głównej przekątnej):
\(\displaystyle{ u_{22}= a_{22}- l_{21}\cdot u_{12}= 5 - 5\cdot 4 = -15}\)
\(\displaystyle{ u_{23} = a_{23}- l_{21}\cdot u_{13} = 2- 5\cdot 4 = -18}\)
\(\displaystyle{ l_{32}= \frac{a_{32}- l_{31}\cdot u_{12}}{u_{22}}= \frac{1- 1\cdot 4}{-15}=0,2}\)
\(\displaystyle{ u_{33}= a_{33}- l_{31}\cdot u_{13} - l_{32}\cdot u_{23}= 2 - 1\cdot 4 -0,2\cdot (-18)= 1,6}\)
Macierze \(\displaystyle{ L, U}\) mają więc odpowiednio postać:
\(\displaystyle{ L = \left[\begin{matrix}1&0&0\\5&1&0\\1&0,2&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ U = \left[\begin{matrix}1&4&4\\ 0&-15&-18\\0&0&1,6\end{matrix}\right]}\)
Etap II
Rozwiązujemy układy równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&0&0\\5&1&0\\1&0,2&1\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}21\\21\\9 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&4&4\\0&-15&-18\\0&0&1,6\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3} \end{matrix}\right]}\)
Drugi sposób rozkładu dekompozycji \(\displaystyle{ LU}\) polega na zapisie macierzy:
\(\displaystyle{ L= \left[\begin{matrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ U=\left[\begin{matrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{matrix}\right]}\)
Pomnożeniu macierzy \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ U}\), porównaniu elementów macierzy \(\displaystyle{ L \cdot U}\) i rozwiązaniu układu równań liniowych.
Etap I
Rozkład macierzy \(\displaystyle{ A = L\cdot U}\) na iloczyn macierzy trójkątnej dolnej \(\displaystyle{ L}\) i macierzy trójkątnej górnej \(\displaystyle{ U}\).
Etap II
Rozwiązanie dwóch układów równań:
\(\displaystyle{ L\cdot \textbf y = \textbf b}\)
\(\displaystyle{ U\textbf x = \textbf y}\)
Etap I
Dla \(\displaystyle{ i =1}\) obliczamy pierwszy wiersz macierzy \(\displaystyle{ U}\) :
\(\displaystyle{ u_{11}= a_{11}=1}\)
\(\displaystyle{ u_{12} =a_{12} =4}\)
\(\displaystyle{ u_{13}= a_{13} = 4}\)
oraz pierwszą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ L}\) :
\(\displaystyle{ l_{21}= \frac{a_{11}}{u_{11}}= \frac{1}{1}=1}\)
\(\displaystyle{ l_{31}= \frac{a_{31}}{u_{11}}= \frac{1}{1}=1}\)
Dla \(\displaystyle{ i=2}\) obliczamy drugi wiersz macierzy \(\displaystyle{ U}\) (począwszy od głównej przekątnej) oraz drugą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ L}\) (poniżej głównej przekątnej):
\(\displaystyle{ u_{22}= a_{22}- l_{21}\cdot u_{12}= 5 - 5\cdot 4 = -15}\)
\(\displaystyle{ u_{23} = a_{23}- l_{21}\cdot u_{13} = 2- 5\cdot 4 = -18}\)
\(\displaystyle{ l_{32}= \frac{a_{32}- l_{31}\cdot u_{12}}{u_{22}}= \frac{1- 1\cdot 4}{-15}=0,2}\)
\(\displaystyle{ u_{33}= a_{33}- l_{31}\cdot u_{13} - l_{32}\cdot u_{23}= 2 - 1\cdot 4 -0,2\cdot (-18)= 1,6}\)
Macierze \(\displaystyle{ L, U}\) mają więc odpowiednio postać:
\(\displaystyle{ L = \left[\begin{matrix}1&0&0\\5&1&0\\1&0,2&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ U = \left[\begin{matrix}1&4&4\\ 0&-15&-18\\0&0&1,6\end{matrix}\right]}\)
Etap II
Rozwiązujemy układy równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&0&0\\5&1&0\\1&0,2&1\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}21\\21\\9 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&4&4\\0&-15&-18\\0&0&1,6\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3} \end{matrix}\right]}\)
Drugi sposób rozkładu dekompozycji \(\displaystyle{ LU}\) polega na zapisie macierzy:
\(\displaystyle{ L= \left[\begin{matrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ U=\left[\begin{matrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{matrix}\right]}\)
Pomnożeniu macierzy \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ U}\), porównaniu elementów macierzy \(\displaystyle{ L \cdot U}\) i rozwiązaniu układu równań liniowych.
