Rozwiązywanie układu równań \(\displaystyle{ A\cdot \textbf x = \textbf b}\) metodą rozkładu \(\displaystyle{ LU}\) składa się z dwóch etapów:
Etap I
Rozkład macierzy \(\displaystyle{ A = L\cdot U}\) na iloczyn macierzy trójkątnej dolnej \(\displaystyle{ L}\) i macierzy trójkątnej górnej \(\displaystyle{ U}\).
Etap II
Rozwiązanie dwóch układów równań:
\(\displaystyle{ L\cdot \textbf y = \textbf b}\)
\(\displaystyle{ U\textbf x = \textbf y}\)
Etap I
Dla \(\displaystyle{ i =1}\) obliczamy pierwszy wiersz macierzy \(\displaystyle{ U}\) :
\(\displaystyle{ u_{11}= a_{11}=1}\)
\(\displaystyle{ u_{12} =a_{12} =4}\)
\(\displaystyle{ u_{13}= a_{13} = 4}\)
oraz pierwszą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ L}\) :
Dla \(\displaystyle{ i=2}\) obliczamy drugi wiersz macierzy \(\displaystyle{ U}\) (począwszy od głównej przekątnej) oraz drugą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ L}\) (poniżej głównej przekątnej):
Pomnożeniu macierzy \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ U}\), porównaniu elementów macierzy \(\displaystyle{ L \cdot U}\) i rozwiązaniu układu równań liniowych.