Mam układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+y-z+u=1\\y+3z-3u=1\\x+5y+z-u=1\end{array}}\)
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&1&1\\0&1&3&-3&1\\1&5&1&-1&1\end{bmatrix}\\w_3=w_1 + w_3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&1&1\\0&1&3&-3&1\\3&6&0&0&2\end{bmatrix}\\w_2=3w_1+w_2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&1&1\\6&4&0&0&4\\3&6&0&0&2\end{bmatrix}\\w_2=w_2-2w_3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1&1&1\\0&-8&0&0&0\\3&6&0&0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+y-z+u=1\\-8y=0\\3x+6y=2\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \\-8y=0\\y=0\\3x+6 \cdot 0=2\\3x=2\\x=\frac{2}{3}}\)
Co dalej? Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ u}\) ?
Układ równań metodą Gaussa
-
Melquiades1
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 10 razy
Układ równań metodą Gaussa
Ostatnio zmieniony 12 sty 2018, o 20:00 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Układ równań metodą Gaussa
Metoda Gaussa-Jordana rozwiązywania układów równań liniowych, polega na wykonywaniu operacji elementarnych na macierzy rozszerzonej \(\displaystyle{ [A| b]}\) układu.
Następujące transformacje macierzy nazywamy operacjami elementarnymi na wierszach:
(1) Zamiana dwóch wierszy miejscami,
(2) Dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę,
(3) Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}2 & 1 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 & -3 & 1\\ 1 & 5 & 1 & -1 & 1 \end{matrix}\right]_{w3\leftrightarrow w1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & -1 & 1\\0 & 1 & 3 & -3 & 1\\ 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 2 & 1 & -1 & 1-1 \end{matrix}\right]_{w3-2\cdot w1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 0 & -9 & -3 & -1-3 \end{matrix}\right]_{w3 +9\cdot w2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 0 & 0 & 24 & 8+24\end{matrix}\right]_{w3\cdot \frac{1}{24}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}+1\end{matrix}\right]_{w2-3w3}^{w1-w3}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 0 & \frac{2}{3}+0\\0 & 1 & 0 & 0+0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}+1\end{matrix}\right]^{w1 -5\cdot w2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}+0\\0 & 1 & 0 & 0+0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}+1\end{matrix}\right]}\)
Rozwiązanie ogólne układu równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ u \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3}+t \\ t \end{matrix}\right], \ \ t\in \RR.}\)
Następujące transformacje macierzy nazywamy operacjami elementarnymi na wierszach:
(1) Zamiana dwóch wierszy miejscami,
(2) Dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę,
(3) Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}2 & 1 & -1 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 & -3 & 1\\ 1 & 5 & 1 & -1 & 1 \end{matrix}\right]_{w3\leftrightarrow w1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & -1 & 1\\0 & 1 & 3 & -3 & 1\\ 2 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 2 & 1 & -1 & 1-1 \end{matrix}\right]_{w3-2\cdot w1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 0 & -9 & -3 & -1-3 \end{matrix}\right]_{w3 +9\cdot w2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 0 & 0 & 24 & 8+24\end{matrix}\right]_{w3\cdot \frac{1}{24}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 1 & 1+1\\0 & 1 & 3 & 1+3\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}+1\end{matrix}\right]_{w2-3w3}^{w1-w3}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 5 & 0 & \frac{2}{3}+0\\0 & 1 & 0 & 0+0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}+1\end{matrix}\right]^{w1 -5\cdot w2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}+0\\0 & 1 & 0 & 0+0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}+1\end{matrix}\right]}\)
Rozwiązanie ogólne układu równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ u \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3}+t \\ t \end{matrix}\right], \ \ t\in \RR.}\)