Mam pewien problem, zdaję sobie sprawę, że jest banalny, ale niestety chyba blokada mózgowa i nie mogę ruszyć, a z drugiej strony wyrzuty sumienia nie dają mi spokoju, więc pytam Was. Zadanie jest takie:
Przekształcenie \(\displaystyle{ F: \RR ^{3} \rightarrow \RR ^{2},\ B = ([1,1,0];[2,0,1];[1,0,1]),\ C=([1,0];[0,1])}\)
\(\displaystyle{ M_{B}^{C}(F) = \begin{bmatrix} 3&5&1\\ 1&5&1\\ \end{bmatrix}}\) . Znajdź \(\displaystyle{ F\left(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix}\right)}\) .
Mój pomysł polegał na zmienieniu macierzy tak by opisywała przekształcenie w bazach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) , a potem ten wektorem zapisać w bazie \(\displaystyle{ B}\) (trochę karkołomne) i wymnożyć. Zadziała to? Czy może da się prościej? Czy licząc takie coś (czyli \(\displaystyle{ F}\) od \(\displaystyle{ }\) niewiadomych) dostanę w efekcie wzór na przekształcenie?
Drugie pytanie jest być może śmieszne, ale nie potrafię tego uporządkować. Jak mając macierz przekształcenia mogę je wyznaczyć? Przykład:
\(\displaystyle{ \alpha (2,1,0)=(3,2,1),\ \alpha (4,2,1)=(4,1,0),\ \alpha (2,2,1)=(2,3,3),\ \alpha (2,2,2)=(0,0,1)}\)
Wiem jak wyznaczyć macierz tego przekształcenia (macierz wirtualnie podzielna na pół, po lewej wektorki, po prawej ich obrazy, Gauss po lewej aż otrzymam bazę kanoniczną. Lewa strona będzie wtedy transponowaną macierzą przekształcenia). Problem napotykam gdy chcę wyznaczyć przekształcenie na podstawie tej macierzy.