Przestrzeń niezmiennicza

[NataliaAnna]

Jak mając podany wzór przekształcenia sprawdzić, czy przestrzeń jest niezmiennicza? Wiem, że trzeba zacząć od wyznaczenia wektorów własnych i podprzestrzeni własnych (bo te podprzestrzenie, będą tymi przestrzeniami, które będę sprawdzać), ale nie wiem jak potem się nimi zająć.
Nie do końca też rozumiem, czym właściwie jest przestrzeń niezmiennicza. Nie omawialiśmy jeszcze tego na wykładzie, a muszę przerobić listę zadań, na której te przestrzenie się pojawiają.
Zadanie:
Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ F: \RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ F\big((x,y,z)\big)=\left( -3x-2y-4z,\,2x+7y+10z,\,-2y-2z\right)}\) . Czy podprzestrzenie \(\displaystyle{ V_{1},V_{2}}\) są niezmiennicze?

\(\displaystyle{ V_{1}=\Lin\left( \left\{ \left( 3,2,1\right),\left( 1,0,1\right) \right\} \right)}\)
\(\displaystyle{ V_{2}=\Lin\left( \left\{ \left( 0,7,-4\right),\left(4,-3,0\right) \right\} \right)}\)

[leg14]

\(\displaystyle{ F:V \rightarrow V}\)
Podprzestrzeń \(\displaystyle{ W < V}\) nazywamy niezmienniczą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ F(W) \subset W}\).

Powiedzmy, że \(\displaystyle{ W = lin\left\{ w_1,..,w_n \right\}}\) i chcesz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ F(W) \subset W}\).
Twierdzę, że wystarczy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ F(w_i) \in W}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i =1,..,n}\).

No to w Twoim przykładzie dla \(\displaystyle{ W =V_1}\). Patrzymy na \(\displaystyle{ F(3,2,1)}\).
Mamy podany wzór, więc wiemy, że \(\displaystyle{ F(3,2,1) = (-17,30,-6)}\).
Chcemy sprawdzić, czy to się zawiera w \(\displaystyle{ V _1}\).
Jednym słowem patrzymy, czy da się rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ (-17,30,-6) = a (3,2,1) + b (1,0,1)}\) w liczbach rzeczywistych. Jeśli nie ma rozwiązania, to już wiesz, że \(\displaystyle{ V_1}\) nie jest niezmiennicza. Jeśli ma rozwiązanie, to jeszcze trzeba to sprawdzić dla \(\displaystyle{ F(1,0,1)}\).

[NataliaAnna]

aaaa, no i wszystko jasne. dzięki