Izomorfizm a wektor własny

[NataliaAnna]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), zaś \(\displaystyle{ F: V\rightarrow V}\) przekształceniem liniowym. Wykazać,że \(\displaystyle{ F}\) jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy,gdy 0 nie jest wartością własną.

[leg14]

F idzie z jakiej przestrzeni?
Rozumiesz pojęcie jądra i wartości własnej?

[NataliaAnna]

edytowałam już,
tak rozumiem pojęcie jądra- wszystkie punkty które przechodzą poprzez przekształcenie na punkt zerowy.
wartości własnej też wydaje mi się,że rozumiem- to jest jakby skala wektorów które poprzez przekształcenie nie zmieniają się(tj. przechodzą na same siebie pomnożone przez wartość własną)

[leg14]

jak się ma jądro do wektorów własnych odpowiadających wartości własnej równej zero?

[NataliaAnna]

te wektory tworzą jądro?nie jestem pewna do końca..

[leg14]

tak

[NataliaAnna]

Ok, i co dalej? Nie umiem za bardzo połączyć tych dwóch faktów ani zapisać tego formalnie. Mógłbyś mi pomóc?

[leg14]

To, że zero nie jest wartością własną jest równoważne z tym, że jądro jest trywialne.
Wiesz, że \(\displaystyle{ dim(V) = dim(ImF) + dim(kerF)}\)
F idzie w \(\displaystyle{ V}\), zatem \(\displaystyle{ dim(im F) \le dim(V)}\)

Przekształcenie jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest na i różnowartościowe.

[NataliaAnna]

Dziękuje Ci serdecznie