Macierzowy argument funkcji wykładniczej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
mint18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 279
Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lub
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 21 razy

Macierzowy argument funkcji wykładniczej

Post autor: mint18 »

Uczę się systemów dynamicznych i nie mogę znaleźć wzoru na wyznaczenie \(\displaystyle{ e^{At}}\), gdzie A jest macierzą 2x2 z zespolonymi wartościami własnymi.
Ostatnio zmieniony 9 sty 2018, o 09:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Macierzowy argument funkcji wykładniczej

Post autor: Janusz Tracz »

Zapisujesz \(\displaystyle{ e^x}\) w postaci szeregu potęgowego. A następnie diagonalizujesz macierz by pozbyć się niewygodnego potęgowania macierzowego. Może

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
znajdziesz coś interesującego.

Ogólnie

\(\displaystyle{ e^X= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{X^n}{n!}}\)

Ale dla macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) istnieje wzór ogólny

\(\displaystyle{ \exp\left(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\right)=\frac{1}{\Delta}\begin{bmatrix}m_{11} & m_{12} \\m_{21} & m_{22} \end{bmatrix}}\)

Gdzie

\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{(a-d)^2+4bc}}\)

\(\displaystyle{ m_{11}=\exp\left( \frac{a+d}{2} \right) \cdot \left( \Delta \cosh \frac{\Delta}{2}+(a-d)\sinh \frac{\Delta}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ m_{12}=2b\exp\left( \frac{a+d}{2} \right)\sinh \frac{\Delta}{2}}\)

\(\displaystyle{ m_{21}=2c\exp\left( \frac{a+d}{2} \right)\sinh \frac{\Delta}{2}}\)

\(\displaystyle{ m_{22}=\exp\left( \frac{a+d}{2} \right) \cdot \left( \Delta \cosh \frac{\Delta}{2}+(d-a)\sinh \frac{\Delta}{2} \right)}\)
ODPOWIEDZ