metoda najmniejszych kwadratów dla macierzy naprężeń

[prideofisland]

Witam.

Mam zadanie 'z treścią' do rozwiązania. Doszedłem do pewnego momentu, a potem nie wiem już jak dalej ruszyć ten problem.

Do wyznaczenia modułu Younga \(\displaystyle{ E}\) w \(\displaystyle{ \frac{N}{ m^{2} }}\) oraz współczynnika Poissona \(\displaystyle{ v}\) zostały przeprowadzone dwa doświadczenia. Gdzie \(\displaystyle{ \sigma_{x}}\) to naprężenie na osi \(\displaystyle{ x}\) , a \(\displaystyle{ \epsilon _{x}}\) to wydłużenie na osi \(\displaystyle{ x}\) .

Według prawa Hooka:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\epsilon _{x}\\\epsilon _{y}\\\epsilon _{z}\end{array}\right] = \frac{1}{E}\left[\begin{array}{ccc}1&-v&-b\\-v&1&-v\\-v&-v&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}\sigma__{x}\\\sigma__{y}\\\sigma__{z}\end{array}\right]}\)

Wyniki pierwszej próby:

\(\displaystyle{ \sigma_{x} =10 ^{6}}\)
\(\displaystyle{ \epsilon _{x}=3.01 \cdot 10^{-6}}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{y}=0}\)
\(\displaystyle{ \epsilon _{y}=-3.02 \cdot 10^{-6}}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{z}=10 ^{6}}\)
\(\displaystyle{ \epsilon _{z}=3.01 \cdot 10^{-6}}\)
Drugi pomiar to:
\(\displaystyle{ \sigma_{x} =0}\)
\(\displaystyle{ \epsilon _{x}=-1.01 \cdot 10^{-6}}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{y}=10 ^{6}}\)
\(\displaystyle{ \epsilon _{y}=4.92 \cdot 10^{-6}}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{z}=0}\)
\(\displaystyle{ \epsilon _{z}=-1.01 \cdot 10^{-6}}\)

Czyli w pierwszej próbie mamy obciążenie na dwóch osiach, w drugiej próbie tylko na jednej.

Moje zadanie polega na takim obliczeniu \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ v}\) , że prawo Hooka spełnia zasadę metody najmniejszych kwadratów.

Moje przemyślenia:
- Chciałem skorzystać z wzoru \(\displaystyle{ A ^{T} \cdot A \cdot x ^{*} =A ^{T} \cdot b^{T}}\)
- Mam dwa pomiary, więc muszę stworzyć jedną 'dużą' macierz Hooka. Tutaj macierz \(\displaystyle{ A}\) :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&-v&-v&0&0&0\\-v&1&-v&0&0&0\\-v&-v&1&0&0&0\\0&0&0&1&-v&-v \\0&0&0&-v&1&-v \\ 0&0&0&-v&-v&1 \end{array}\right]}\)

Przetransponowałem, pomnożyłem i doszedłem do momentu, w którym mam zredukować macierz metodą Gaussa. Problem polega na tym, że w tej macierzy mam moje niewiadome \(\displaystyle{ v}\) i nie mogę tak po prostu odejmować od siebie wierszy.

Jak ugryźć ten problem?

Pozdrawiam
Pride