Zad 1.
Wyznacz wszystkie rozwiązania bazowe:
1) poprzez jednokrotną wymianę zmiennej bazowej lub
2) na podstawie rozwiązania ogólnego:
a) \(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - 2x_{2} - x_{3} = 1\\2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4\end{cases}}\)
b) \(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1} + x_{2} - x_{3} - x_{4} = 1\\-x_{1} - 2x_{2} + x_{3} + 2x_{4} = 0\end{cases}}\)
c) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{1} x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} -
x_{4} = 1\\3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} - x_{4} = 1\\2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \end{array}}\)
Zad. 2
Sprowadź dane układy do postaci bazowej względem kolumny pierwszej i trzeciej stosując metodę operacji elementarnych.
a) \(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2} + x_{3} - x_{4} = 3\\-x_{1} + x_{2} + 4x_{3} + 2x_{4} = 6\end{cases}}\)
b) \(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + x_{4} = 10\\3x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + x_{5} = 8\end{cases}}\)
Postać bazowa układu równań
-
Melquiades1
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 10 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Postać bazowa układu równań
Zadanie 1 a)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - 2x_{2} -x_{3} =1\\ 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4\end{cases}}\)
1.
Dany układ równań zapisujemy w postaci wektorowej
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot \textbf a_{1} + x_{2}\cdot \textbf a_{2}+ x_{3}\cdot \textbf a_{3} = \textbf b}\) (1)
gdzie:
\(\displaystyle{ \textbf a_{1}= \left[\begin{matrix}1\\ 2 \end{matrix}\right],\ \ \textbf a_{2}= \left[\begin{matrix}-2\\ 3 \end{matrix}\right],\ \ \textbf a_{3}=\left[\begin{matrix}-1\\ 1 \end{matrix}\right], \ \ \textbf b = \left[\begin{matrix}1\\ 4 \end{matrix}\right]}\)
Na przykład wektory \(\displaystyle{ \textbf a_{1}, \textbf a_{2}}\) są liniowo niezależne i należą do przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2,}\) tworzą więc bazę tej przestrzeni, wobec tego zmiennymi bazowymi są \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2},}\) a zmienną swobodną \(\displaystyle{ x_{3}}\) .
Mamy więc
\(\displaystyle{ \textbf x_{B}= \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2} \end{matrix}\right] , \ \ \textbf x_{S}= [x_{3}], \ \ \textbf A_{B}= [\textbf a_{1}, \textbf a_{2}] = \left[ \begin{matrix}1&-2\\ 2&3 \end{matrix}\right],\ \ \textbf A_{S} = [a_{3}]= \left[\begin{matrix}-1\\ 1 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2\\ 2&3 \end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}-1\\ 1 \end{matrix}\right] \cdot [x_{3}] = \left[\begin{matrix}1\\ 4 \end{matrix}\right]}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x_{3}= 0}\) oraz rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2\\ 2&3 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\ 4 \end{matrix}\right]}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{1} =\frac{11}{7}, \ \ x_{2} =\frac{2}{7}}\)
2.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2& 1+1\\2&3&4 -1\end{matrix}\right]_{w2 -2w1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2& 1+1\\0&7&2 -3\end{matrix}\right]_{w_{2}\cdot \frac{1}{7}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2& 1+1\\0&1&\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\end{matrix}\right]^{w1 +2w2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&0&\frac{11}{7}+\frac{1}{7}\\0&1&\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\end{matrix}\right]}\)
Rozwiązanie ogólne układu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}\frac{11}{7}+\frac{1}{7}t \\ \frac{2}{7}-\frac{3}{7}t\\ t\end{matrix}\right],\ \ t\in \RR}\)
Kładąc \(\displaystyle{ t =0}\) otrzymujemy rozwiązanie bazowe:
\(\displaystyle{ \textbf x_{B} = \left[\begin{matrix} \frac{11}{7}\\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - 2x_{2} -x_{3} =1\\ 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4\end{cases}}\)
1.
Dany układ równań zapisujemy w postaci wektorowej
\(\displaystyle{ x_{1}\cdot \textbf a_{1} + x_{2}\cdot \textbf a_{2}+ x_{3}\cdot \textbf a_{3} = \textbf b}\) (1)
gdzie:
\(\displaystyle{ \textbf a_{1}= \left[\begin{matrix}1\\ 2 \end{matrix}\right],\ \ \textbf a_{2}= \left[\begin{matrix}-2\\ 3 \end{matrix}\right],\ \ \textbf a_{3}=\left[\begin{matrix}-1\\ 1 \end{matrix}\right], \ \ \textbf b = \left[\begin{matrix}1\\ 4 \end{matrix}\right]}\)
Na przykład wektory \(\displaystyle{ \textbf a_{1}, \textbf a_{2}}\) są liniowo niezależne i należą do przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^2,}\) tworzą więc bazę tej przestrzeni, wobec tego zmiennymi bazowymi są \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2},}\) a zmienną swobodną \(\displaystyle{ x_{3}}\) .
Mamy więc
\(\displaystyle{ \textbf x_{B}= \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2} \end{matrix}\right] , \ \ \textbf x_{S}= [x_{3}], \ \ \textbf A_{B}= [\textbf a_{1}, \textbf a_{2}] = \left[ \begin{matrix}1&-2\\ 2&3 \end{matrix}\right],\ \ \textbf A_{S} = [a_{3}]= \left[\begin{matrix}-1\\ 1 \end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2\\ 2&3 \end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2} \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}-1\\ 1 \end{matrix}\right] \cdot [x_{3}] = \left[\begin{matrix}1\\ 4 \end{matrix}\right]}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x_{3}= 0}\) oraz rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2\\ 2&3 \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\ 4 \end{matrix}\right]}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{1} =\frac{11}{7}, \ \ x_{2} =\frac{2}{7}}\)
2.
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2& 1+1\\2&3&4 -1\end{matrix}\right]_{w2 -2w1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2& 1+1\\0&7&2 -3\end{matrix}\right]_{w_{2}\cdot \frac{1}{7}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&-2& 1+1\\0&1&\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\end{matrix}\right]^{w1 +2w2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1&0&\frac{11}{7}+\frac{1}{7}\\0&1&\frac{2}{7}-\frac{3}{7}\end{matrix}\right]}\)
Rozwiązanie ogólne układu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}\frac{11}{7}+\frac{1}{7}t \\ \frac{2}{7}-\frac{3}{7}t\\ t\end{matrix}\right],\ \ t\in \RR}\)
Kładąc \(\displaystyle{ t =0}\) otrzymujemy rozwiązanie bazowe:
\(\displaystyle{ \textbf x_{B} = \left[\begin{matrix} \frac{11}{7}\\ \frac{2}{7} \end{matrix}\right]}\)
-
Melquiades1
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 10 razy
Postać bazowa układu równań
A można prosić o wyjaśnienie wszystkiego krok po kroku, ewentualnie o link, w którym wszystko będzie przejrzyście objaśnione? Coś nie coś już czytałem, ale nie rozumiem. O ile rzędy macierzy i tw. Kroneckera-Capellego zaczynam rozumieć, o tyle nie miałem do czynienia z bazami, etc., a mam te 2 zadania zrobić na najbliższe zajęcia.
-
Melquiades1
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 13 lis 2017, o 12:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 10 razy
Re: Postać bazowa układu równań
Wszystkiego - polecenia, skąd się wzięła postać wektorowa, czym jest \(\displaystyle{ RR^{2}, a_{1}, a_{2}, x_{B}, x_{S}}\), etc., dlaczego dalej mamy \(\displaystyle{ x_{3} = 0}\).janusz47 pisze:Co nie rozumiesz?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Postać bazowa układu równań
To musisz wziąć do ręki podręcznik najlepiej dla Ekonomistów np:
Wykłady z Matematyki dla Studentów Uczelni Ekonomicznych pod redakcją Anny Piweckiej - Staryszak. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej Wrocław 2004.
lub
Algebra Liniowa dla Ekonometryków. Praca zbiorowa pod redakcją Elżbiety Stolarskiej. PWN Warszawa 1979
i zapoznać się z teorią rozwiązań bazowych i rozwiązań ogólnych metodą Gaussa-Jordana - układów równań liniowych.
Wykłady z Matematyki dla Studentów Uczelni Ekonomicznych pod redakcją Anny Piweckiej - Staryszak. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej Wrocław 2004.
lub
Algebra Liniowa dla Ekonometryków. Praca zbiorowa pod redakcją Elżbiety Stolarskiej. PWN Warszawa 1979
i zapoznać się z teorią rozwiązań bazowych i rozwiązań ogólnych metodą Gaussa-Jordana - układów równań liniowych.