Dzien dobry!
Mam problem z pewnym dowodzikiem.
Udowodnij, że jeżeli macierz \(\displaystyle{ \var A \in M _{n}(C)}\) jest nilpotentna to \(\displaystyle{ \var A - I}\) oraz \(\displaystyle{ \var A + I}\) jest macierzą odwracalną, gdzie \(\displaystyle{ \var I}\) jest oczywiście macierzą jednostkową.
Teraz tak, przypadek szczególny, gdy \(\displaystyle{ \var A}\) jest macierzą trójkątną mającą na diagonali zera jest trywialny. Gorzej z przypadkiem ogólnym...
Mógłby ktoś pomóc? Nie wiem czy to ważne (zapewne tak), ale dowód powinno się przeprowadzić bez wiedzy o jakichkolwiek wartościach własnych.
Macierz nilpotentna
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Macierz nilpotentna
Okej, proszę się nie śmiać jeśli napiszę coś szczególnie głupiego ;p
Korzystam ze wskazówki \(\displaystyle{ 1 - t^n = (1 - x)(1 +...+ t^{n-1})}\)
\(\displaystyle{ I-A ^{k} = (I - A)(I +...+ A^{k-1})=I}\)
Jeżeli dwie macierze są sobie równe to ich wyznaczniki są równe
\(\displaystyle{ det((I - A)(I +...+ A^{k-1}))=det(I)}\)
Korzystając z twierdzenia Cauchyego
\(\displaystyle{ det(I-A)det(I +...+ A^{k-1}=det(I)}\)
Jak wiemy \(\displaystyle{ det(I)}\) jest niezerowy (a nawet równy jeden) więc oba czynniki po lewej stronie równości są róże od zera. W szczególności \(\displaystyle{ det(I-A) \neq 0}\), więc macierz \(\displaystyle{ I-A}\) jest odwracalna, więc przeciwna do niej (\(\displaystyle{ A-I}\)) również taka jest
O to w tym chodzi? Jeśli tak to jak teraz poradzić sobie z plusem?
Korzystam ze wskazówki \(\displaystyle{ 1 - t^n = (1 - x)(1 +...+ t^{n-1})}\)
\(\displaystyle{ I-A ^{k} = (I - A)(I +...+ A^{k-1})=I}\)
Jeżeli dwie macierze są sobie równe to ich wyznaczniki są równe
\(\displaystyle{ det((I - A)(I +...+ A^{k-1}))=det(I)}\)
Korzystając z twierdzenia Cauchyego
\(\displaystyle{ det(I-A)det(I +...+ A^{k-1}=det(I)}\)
Jak wiemy \(\displaystyle{ det(I)}\) jest niezerowy (a nawet równy jeden) więc oba czynniki po lewej stronie równości są róże od zera. W szczególności \(\displaystyle{ det(I-A) \neq 0}\), więc macierz \(\displaystyle{ I-A}\) jest odwracalna, więc przeciwna do niej (\(\displaystyle{ A-I}\)) również taka jest
O to w tym chodzi? Jeśli tak to jak teraz poradzić sobie z plusem?
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Macierz nilpotentna
Dokładnie o to chodzi.
Z plusem poradź sobie tak:
\(\displaystyle{ (1 +t)(1-t) = 1 - t^2}\)
dodaj do tego, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nilpotentna, to \(\displaystyle{ A^2}\) też.
Z plusem poradź sobie tak:
\(\displaystyle{ (1 +t)(1-t) = 1 - t^2}\)
dodaj do tego, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nilpotentna, to \(\displaystyle{ A^2}\) też.