Wyznacz macierz przekształcenia liniowego

[adda16]

Wyznacz macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ F \in \mathbb{R}[x]_{2}}\) ,
\(\displaystyle{ F(p)(t) = p(t+1)-p(t)}\)
w bazie \(\displaystyle{ 1, t, t^{2}}\) (w dziedzinie i przeciwdziedzinie).

Pierwszy problem jest już taki, że nie rozumiem tego zapisu:
\(\displaystyle{ F(p)(t) = p(t+1)-p(t)}\)

[leg14]

Wielomianowi \(\displaystyle{ p(t)}\) przypisujesz wielomian \(\displaystyle{ w(t) = p(t+1) - p(t)}\) . Np. \(\displaystyle{ F( t^{2} + 1) = (t+1)^{2} + 1 - t^2 -1}\) .

[SlotaWoj]

Nie dziwię się, że nie rozumiesz zapisu, bo gdyby miało być tak, jak proponuje Leg14, to powinno być napisane:

• \(\displaystyle{ F\big( p(t)\big) = p(t+1)-p(t)}\)

[adda16]

Ok, dzięki.

Zatem:

\(\displaystyle{ F(1)=0 \cdot 1 + 0 \cdot t + 0 \cdot t^{2}}\)
\(\displaystyle{ F(t)=1 \cdot 1 + 0 \cdot t + 0 \cdot t^{2}}\)
\(\displaystyle{ F(t^{2})=1 \cdot 1 + 2 \cdot t + 0 \cdot t^{2}}\)

i ta macierz to:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&1\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}}\)

[AiDi]

Nie dziwię się, że nie rozumiesz zapisu, bo gdyby miało być tak, jak proponuje Leg14, to powinno być napisane:

• \(\displaystyle{ F\big( p(t)\big) = p(t+1)-p(t)}\)

Powinno nie powinno, stosuje się różne zapisy. Taki np. też \(\displaystyle{ (F(p))(t)}\) . Powiedziałbym, że ten, który podałeś, w algebrze pojawia się rzadziej, bo wygląda jak złożenie dwóch funkcji.

[a4karo]

Operator \(\displaystyle{ F}\) działa z przestrzeni wielomianów w przestrzeń wielomianów. A zatem jego argumentem jest wielomian. Żeby opisać ten wielomian trzeba podać jego wartość dla dowolnego jego argumentu. A zatem \(\displaystyle{ F(p)}\) jest obrazem wielomianu \(\displaystyle{ p}\) przez odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) . Wartość tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ t}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ F(p)(t)=...}\)

Natomiast zapis \(\displaystyle{ F(p(t))}\) nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ p(t)}\) jest liczbą, a argumentem \(\displaystyle{ F}\) nie są liczby.

[adda16]

Mógłbym prosić o weryfikację poprzedniego zadania i tego poniżej? Chciałbym mieć pewność, że dobrze to zrobiłem.

Tym razem mam wyznaczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ F \in L(\mathbb{K}[t]_{2}, \mathbb{K}[t]_{2})}\)
\(\displaystyle{ F(p)(t) = p(at + b)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{K}}\) to ustalone skalary, w bazie \(\displaystyle{ 1, t, t^{2}}\).

Zatem:

\(\displaystyle{ F(1)= 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot t + 0 \cdot t^{2}}\)
\(\displaystyle{ F(t)=at+b=b \cdot 1 + a \cdot t + 0 \cdot t^{2}}\)
\(\displaystyle{ F(t^{2})=(at+b)^{2}=a^{2}t^{2}+2abt+b^{2}=b^{2} \cdot 1 + 2ab \cdot t + a^{2} \cdot t^{2}}\)

i ta macierz to:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&b&b^{2}\\0&a&2ab\\0&0&a^{2}\end{bmatrix}}\)

[SlotaWoj]

Operator \(\displaystyle{ F}\) działa z przestrzeni wielomianów w przestrzeń wielomianów. A zatem jego argumentem jest wielomian. Żeby opisać ten wielomian trzeba podać jego wartość dla dowolnego jego argumentu. A zatem \(\displaystyle{ F(p)}\) jest obrazem wielomianu \(\displaystyle{ p}\) przez odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) . Wartość tego wielomianu w punkcie \(\displaystyle{ t}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ F(p)(t)=...}\)

Natomiast zapis \(\displaystyle{ F(p(t))}\) nie ma sensu, bo \(\displaystyle{ p(t)}\) jest liczbą, a argumentem \(\displaystyle{ F}\) nie są liczby.

Dziękuję za wyjaśnienie.

[adda16]

Mógłby ktoś dać znać, czy dobrze te macierze wyznaczyłem?

[SlotaWoj]

Dobrze!
Nie jest to prawdą!

Edit: Na rozwiązanie drugiego zadania popatrzyłem mało wnikliwie i musiał „wkroczyć” (w następnym poście) A4karo. Jemu dziękuję, a pozostałych proszę o wybaczenie.

[a4karo]

Mógłby ktoś dać znać, czy dobrze te macierze wyznaczyłem?

A możesz powiedzieć dlaczego \(\displaystyle{ F(1)=0}\) ? Przecież \(\displaystyle{ 1}\) jest wielomianem stałym, równym tożsamościowi \(\displaystyle{ 1}\) .

[adda16]

A możesz powiedzieć dlaczego \(\displaystyle{ F(1)=0}\) ? Przecież \(\displaystyle{ 1}\) jest wielomianem stałym, równym tożsamościowi \(\displaystyle{ 1}\) .

Dzięki! Nie wiem dlaczego tak napisałem. Pewnie błędnie zainspirowałem się poprzednim zadaniem.

Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&b&b^{2}\\0&a&2ab\\0&0&a^{2}\end{bmatrix}}\)