Postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy

[qwert16]

Znaleźć postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
Prosze o pomoc

[NogaWeza]

Trzeba zacząć od wartości i wektorów własnych. Łatwiej będzie nam pomóc, jeśli napiszesz z czym konkretnie masz problem.

[qwert16]

Wartość własna \(\displaystyle{ \lambda}\)=2 krotność 3.
Buduję podprzestrzeń \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}=x \in R^3: (A-2E)*X=0}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]*X=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}={x \in R^3: x_2+x_3=0}\)

\(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}=\left[\begin{array}{c}0&\\-a&\\2a&\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ dim N_{2}^{(1)}=2}\) oznacza że będą dwie klatki Jordana.

Buduję podprzestrzeń \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}=x \in R^3: (A-2E)^2*X=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}=R^3}\)

Okreslamy baze wzgledna \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}}\) wzgledem \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}}\)

Właśnie tutaj mam problem

wynik jest

\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&1&-1\\0&0&2\end{array}\right]}\)
trzeci wektor jest zrozumiały ale jak znależć wektory dwie pierwsze poddaje się

\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

[NogaWeza]

Oznaczam \(\displaystyle{ B = A - 2I}\).

Jądro \(\displaystyle{ B}\) to istotnie \(\displaystyle{ \{ x \in \RR ^3 : 2 x_2 + x_3 = 0 \}}\), a więc w szczególności będzie pasował wektor \(\displaystyle{ (a, b, -2b)^T}\). Wymiar jądra to istotnie \(\displaystyle{ 2}\), ale przecież pierwsza współrzędna może być dowolna, więc nie powinieneś tam pisać zera.
Wybierzmy może od razu dwa wektory własne: \(\displaystyle{ (1,0,0)^T , \quad (0, 1, -2)^T}\).

Poszukajmy jądra \(\displaystyle{ B^2}\), dostajemy \(\displaystyle{ \ker B^2 = \{ e_1, e_2, e_3 \}}\), gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) to kolejne wektory bazy kanonicznej w \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Musimy teraz znaleźć uogólniony wektor własny, czyli taki, który spełnia poniższą zależność:
\(\displaystyle{ v^{(k)} \in \ker B^{k}}\) oraz \(\displaystyle{ v^{(k)} \notin \ker B^{k-1}}\). My szukamy wektora rzędu drugiego, a zatem musi on należeć do jądra \(\displaystyle{ B^2}\), ale nie może należeć do jądra \(\displaystyle{ B}\) (czyli przykładowo \(\displaystyle{ e_1}\) odpada). No to wybierzmy w takim razie \(\displaystyle{ v^{(2)}
= (0,0,1)^T}\).

Generujemy teraz łąńcuch Jordana w następujący sposób: jeśli \(\displaystyle{ v^{(k)}}\) jest uogólnionym wektorem rzędu \(\displaystyle{ k}\), to kolejne wektory łańcucha Jordana wyznaczamy rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ v^{(k-1)} = B v^{(k)} \\ v^{(k-2)} = B v^{(k- 1)} \\ ...}\).

W szczególności gdy dojdziemy do \(\displaystyle{ v^{(1)} = B v^{(2)}}\) powinniśmy dostać wektor własny.

Do dzieła, mamy \(\displaystyle{ Bv^{(2)} = (1,0,0)^T = v^{(1)}}\). Jest to wektor własny, a zatem nasz wynik nosi znamiona poprawności. Równie dobrze za \(\displaystyle{ v^{(2)}}\) mógłbym wziąć \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) czy \(\displaystyle{ (15, 7, 20384)}\), ciągle po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ B}\) dostałym wektor własny.

Mamy dwie klatki Jordana, ale jeden łańcuch odpowiada tylko jednej klatce, zatem musimy dobrać jeszcze jeden wektor własny, liniowo niezależny z tym, który już wygenerowaliśmy, niech będzie to \(\displaystyle{ w = (0,1,-2)^T}\).

Mamy zatem wektory \(\displaystyle{ w, v^{(1)}, v^{(2)}}\), wiesz jak je teraz ustawić w macierz przejścia?

Ukryta treść:    

W takiej kolejności jak napisałem, albo \(\displaystyle{ v^{(1)}, v^{(2)}, w}\) - ważne jest to, że \(\displaystyle{ v^{(1)}, v^{(2)}}\) muszą pozostać koło siebie dokładnie w takiej kolejności, bo pochodzą z jednego łańcucha Jordana.

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0,1,0%7D,%7B1,0,0%7D,%7B-2,0,1%7D%7D+*+%7B%7B2,0,0%7D,%7B0,2,1%7D,%7B0,0,2%7D%7D+*+%7B%7B0,1,0%7D,%7B1,0,0%7D,%7B-2,0,1%7D%7D%5E%28-1%29