Znaleźć postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
Prosze o pomoc
Postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy
Trzeba zacząć od wartości i wektorów własnych. Łatwiej będzie nam pomóc, jeśli napiszesz z czym konkretnie masz problem.
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 18 kwie 2008, o 22:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy
Wartość własna \(\displaystyle{ \lambda}\)=2 krotność 3.
Buduję podprzestrzeń \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}=x \in R^3: (A-2E)*X=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]*X=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}={x \in R^3: x_2+x_3=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}=\left[\begin{array}{c}0&\\-a&\\2a&\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ dim N_{2}^{(1)}=2}\) oznacza że będą dwie klatki Jordana.
Buduję podprzestrzeń \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}=x \in R^3: (A-2E)^2*X=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}=R^3}\)
Okreslamy baze wzgledna \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}}\) wzgledem \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}}\)
Właśnie tutaj mam problem
wynik jest
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&1&-1\\0&0&2\end{array}\right]}\)
trzeci wektor jest zrozumiały ale jak znależć wektory dwie pierwsze poddaje się
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
Buduję podprzestrzeń \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}=x \in R^3: (A-2E)*X=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]*X=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}={x \in R^3: x_2+x_3=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}=\left[\begin{array}{c}0&\\-a&\\2a&\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ dim N_{2}^{(1)}=2}\) oznacza że będą dwie klatki Jordana.
Buduję podprzestrzeń \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}=x \in R^3: (A-2E)^2*X=0}\)
\(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}=R^3}\)
Okreslamy baze wzgledna \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)}}\) wzgledem \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)}}\)
Właśnie tutaj mam problem
wynik jest
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&1&-1\\0&0&2\end{array}\right]}\)
trzeci wektor jest zrozumiały ale jak znależć wektory dwie pierwsze poddaje się
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
- NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Re: Postać kanoniczną i bazę Jordana macierzy
Oznaczam \(\displaystyle{ B = A - 2I}\).
Jądro \(\displaystyle{ B}\) to istotnie \(\displaystyle{ \{ x \in \RR ^3 : 2 x_2 + x_3 = 0 \}}\), a więc w szczególności będzie pasował wektor \(\displaystyle{ (a, b, -2b)^T}\). Wymiar jądra to istotnie \(\displaystyle{ 2}\), ale przecież pierwsza współrzędna może być dowolna, więc nie powinieneś tam pisać zera.
Wybierzmy może od razu dwa wektory własne: \(\displaystyle{ (1,0,0)^T , \quad (0, 1, -2)^T}\).
Poszukajmy jądra \(\displaystyle{ B^2}\), dostajemy \(\displaystyle{ \ker B^2 = \{ e_1, e_2, e_3 \}}\), gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) to kolejne wektory bazy kanonicznej w \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Musimy teraz znaleźć uogólniony wektor własny, czyli taki, który spełnia poniższą zależność:
\(\displaystyle{ v^{(k)} \in \ker B^{k}}\) oraz \(\displaystyle{ v^{(k)} \notin \ker B^{k-1}}\). My szukamy wektora rzędu drugiego, a zatem musi on należeć do jądra \(\displaystyle{ B^2}\), ale nie może należeć do jądra \(\displaystyle{ B}\) (czyli przykładowo \(\displaystyle{ e_1}\) odpada). No to wybierzmy w takim razie \(\displaystyle{ v^{(2)}
= (0,0,1)^T}\).
Generujemy teraz łąńcuch Jordana w następujący sposób: jeśli \(\displaystyle{ v^{(k)}}\) jest uogólnionym wektorem rzędu \(\displaystyle{ k}\), to kolejne wektory łańcucha Jordana wyznaczamy rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ v^{(k-1)} = B v^{(k)} \\ v^{(k-2)} = B v^{(k- 1)} \\ ...}\).
W szczególności gdy dojdziemy do \(\displaystyle{ v^{(1)} = B v^{(2)}}\) powinniśmy dostać wektor własny.
Do dzieła, mamy \(\displaystyle{ Bv^{(2)} = (1,0,0)^T = v^{(1)}}\). Jest to wektor własny, a zatem nasz wynik nosi znamiona poprawności. Równie dobrze za \(\displaystyle{ v^{(2)}}\) mógłbym wziąć \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) czy \(\displaystyle{ (15, 7, 20384)}\), ciągle po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ B}\) dostałym wektor własny.
Mamy dwie klatki Jordana, ale jeden łańcuch odpowiada tylko jednej klatce, zatem musimy dobrać jeszcze jeden wektor własny, liniowo niezależny z tym, który już wygenerowaliśmy, niech będzie to \(\displaystyle{ w = (0,1,-2)^T}\).
Mamy zatem wektory \(\displaystyle{ w, v^{(1)}, v^{(2)}}\), wiesz jak je teraz ustawić w macierz przejścia?
Jądro \(\displaystyle{ B}\) to istotnie \(\displaystyle{ \{ x \in \RR ^3 : 2 x_2 + x_3 = 0 \}}\), a więc w szczególności będzie pasował wektor \(\displaystyle{ (a, b, -2b)^T}\). Wymiar jądra to istotnie \(\displaystyle{ 2}\), ale przecież pierwsza współrzędna może być dowolna, więc nie powinieneś tam pisać zera.
Wybierzmy może od razu dwa wektory własne: \(\displaystyle{ (1,0,0)^T , \quad (0, 1, -2)^T}\).
Poszukajmy jądra \(\displaystyle{ B^2}\), dostajemy \(\displaystyle{ \ker B^2 = \{ e_1, e_2, e_3 \}}\), gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) to kolejne wektory bazy kanonicznej w \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Musimy teraz znaleźć uogólniony wektor własny, czyli taki, który spełnia poniższą zależność:
\(\displaystyle{ v^{(k)} \in \ker B^{k}}\) oraz \(\displaystyle{ v^{(k)} \notin \ker B^{k-1}}\). My szukamy wektora rzędu drugiego, a zatem musi on należeć do jądra \(\displaystyle{ B^2}\), ale nie może należeć do jądra \(\displaystyle{ B}\) (czyli przykładowo \(\displaystyle{ e_1}\) odpada). No to wybierzmy w takim razie \(\displaystyle{ v^{(2)}
= (0,0,1)^T}\).
Generujemy teraz łąńcuch Jordana w następujący sposób: jeśli \(\displaystyle{ v^{(k)}}\) jest uogólnionym wektorem rzędu \(\displaystyle{ k}\), to kolejne wektory łańcucha Jordana wyznaczamy rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ v^{(k-1)} = B v^{(k)} \\ v^{(k-2)} = B v^{(k- 1)} \\ ...}\).
W szczególności gdy dojdziemy do \(\displaystyle{ v^{(1)} = B v^{(2)}}\) powinniśmy dostać wektor własny.
Do dzieła, mamy \(\displaystyle{ Bv^{(2)} = (1,0,0)^T = v^{(1)}}\). Jest to wektor własny, a zatem nasz wynik nosi znamiona poprawności. Równie dobrze za \(\displaystyle{ v^{(2)}}\) mógłbym wziąć \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) czy \(\displaystyle{ (15, 7, 20384)}\), ciągle po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ B}\) dostałym wektor własny.
Mamy dwie klatki Jordana, ale jeden łańcuch odpowiada tylko jednej klatce, zatem musimy dobrać jeszcze jeden wektor własny, liniowo niezależny z tym, który już wygenerowaliśmy, niech będzie to \(\displaystyle{ w = (0,1,-2)^T}\).
Mamy zatem wektory \(\displaystyle{ w, v^{(1)}, v^{(2)}}\), wiesz jak je teraz ustawić w macierz przejścia?
Ukryta treść: