Odwzorowanie liniowe

[aolo23]

Czy odwzorowanie \(\displaystyle{ F : R^{2} \rightarrow R^{2}}\) zadane wzorem \(\displaystyle{ T (x, y) = (xy, x + y)}\) jest odwzorowaniem liniowym?

Odpowiedź brzmi nie?

[janusz47]

A dlaczego nie?

[aolo23]

Niech \(\displaystyle{ a=(x_{a},y_{1}) oraz b=(x_{2},y_{2})}\) .

Teza: \(\displaystyle{ F(\lambda \cdot a+\mu \cdot b ) =\lambda \cdot F(a) + \mu \cdot F(b)}\)

Wstawiając i rozpisując dochodzimy do:

\(\displaystyle{ F((\lambda \cdot a+\mu \cdot b )) =((\lambda^{2}(x_{1}y_{1})+\lambda\mu(x_{1}y_{2})+ \lambda\mu(x_{2}y_{1}) +\mu^{2}(x_{1}y_{2}),\lambda(x_{1}+y_{1})+\mu(x_{2}y_{2}))=}\)

Powstają nam współczynniki \(\displaystyle{ \lambda\mu}\) , których nie ma się jak pozbyć.

[a4karo]

Niech \(\displaystyle{ a=(x_{a},y_{1}) oraz b=(x_{2},y_{2})}\) .

Teza: \(\displaystyle{ F(\lambda \cdot a+\mu \cdot b ) =\lambda \cdot F(a) + \mu \cdot F(b)}\)

Wstawiając i rozpisując dochodzimy do:

\(\displaystyle{ F((\lambda \cdot a+\mu \cdot b )) =((\lambda^{2}(x_{1}y_{1})+\lambda\mu(x_{1}y_{2})+ \lambda\mu(x_{2}y_{1}) +\mu^{2}(x_{1}y_{2}),\lambda(x_{1}+y_{1})+\mu(x_{2}y_{2}))=}\)

Powstają nam współczynniki \(\displaystyle{ \lambda\mu}\) , których nie ma się jak pozbyć.

To nie jest argument (bo być może nie znasz metod, które pozwolą się "pozbyć" \(\displaystyle{ \lambda\mu}\) .

Najprościej podać kontrprzykład.

[janusz47]

Nie chodzi o współczynniki, "których się nie można pozbyć", a o wykazanie, że lewa strona nie jest równa stronie prawej.

[aolo23]

No właśnie mój problem na tym polega, że nie umiem do końca przejść od lewej do prawej strony, dopiero zozgrzebuję cały temat z tymi zadaniami związany.