Znajdź wymiar oraz bazę przestrzeni liniowej

[Akiro]

\(\displaystyle{ V = {(x-y, z-x, x+y-2z, y-z) : x,y,z \in \RR }}\)
Problem jest taki, że wychodzi, iż wektory utworzone z powyższego są liniowo zależne (wyszła mi tożsamość przy sprawdzaniu liniowości \(\displaystyle{ 0=0}\) ) i w takim razie co zrobić z takim przypadkiem, nie da się znaleźć bazy i określić wymiaru?

[janusz47]

Zapisujemy macierz \(\displaystyle{ M_{4\times 3}(V)}\) – przekształcenia \(\displaystyle{ V.}\)

Stosując eliminacje Gaussa-Jordana, sprowadzamy macierz \(\displaystyle{ M_{4\times 3}(V)}\) do postaci "schodkowej".

Z postaci "schodkowej" odczytujemy niezerowe wiersze macierzy \(\displaystyle{ M_{4\times 3}(V)}\) .

Ilość niezerowych wierszy, to wymiar \(\displaystyle{ \dim(V)}\) .

Niezerowe wiersze, to baza \(\displaystyle{ \mathcal{B}(V)}\) .