Baza przestrzeni liniowej

[aolo23]

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem.
1. Pokaż, że zbiór wielomianów \(\displaystyle{ \left\{ {1, x, x^{2} , . . . , x^{n} }\right\}}\) jest bazą przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ K_{n}[x]}\) .
2. Pokaż, że zbiór wielomianów \(\displaystyle{ \left\{1, x-1, (x-1)^{2} , . . . , (x-1)^{n} \right\}}\) jest również bazą przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ K_{n}[x]}\) .

Wskazówki?

[janusz47]

1.

Najprościej tworzymy Wrońskian

\(\displaystyle{ \left| \begin{matrix}1&x&x^2&....&x^n\\ 0&1&2x&...&nx^{n-1}\\.&.&.&...&.\\ 0&0&0&...&n!\end{matrix}\right|}\)

i stwierdzamy, że jest różny od zera.

[a4karo]

Czy potrafisz każdy wielomian stopnia \(\displaystyle{ \leq n}\) przedstawić przy pomocy kombinacji liniowej tych wielomianow?
Czy to przedstawienie jest jednoznaczne?

[aolo23]

Co do kombinacji liniowych to współczynniki kombinacji liniowej muszą być tylko i wyłącznie liczbami?
Bo jeśli tak, to jest to jednoznaczne przedstawienie.

[a4karo]

Mają być elementami ciała \(\displaystyle{ K}\) .

[janusz47]

Niech:

\(\displaystyle{ \textbf p_{0}=1, \textbf p_{1}=x, \textbf p_{2}=x^2, ...,\textbf p_{n}= x^{n}}\) (0)

Mamy wykazać prawdziwość implikacji:

\(\displaystyle{ (a_{0}\cdot \textbf p_{0}+ a_{1}\cdot \textbf p_{1}+ a_{2}\cdot \textbf p_{2}+...+a_{n}\cdot \textbf p_{n} =\textbf 0 )\rightarrow (a_{0}= a_{1}= a_{2}=...= a_{n}=0)}\)

Równanie wektorowe:

\(\displaystyle{ a_{0}\cdot \textbf p_{0}+ a_{1}\cdot \textbf p_{1}+ a_{2}\cdot \textbf p_{2}+...+a_{n}\cdot \textbf p_{n} = \textbf 0}\) (1)

jest równoważne równaniu skalarnemu:

\(\displaystyle{ a_{0} + a_{1}\cdot x + a_{2}\cdot x^2 +...+ a_{n}\cdot x^{n} = 0}\) (2)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in (-\infty, \infty)}\) ,

które jest prawdziwe, gdy wszystkie współczynniki:

\(\displaystyle{ a_{0}=a_{1}=a_{2}=...=a_{n} = 0}\) (3)

Żeby, to udowodnić, musimy przypomnieć twierdzenie dotyczące pierwiastków wielomianów.

Każdy niezerowy wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) może co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków.

Skoro tak, to każdy współczynnik w (2) musi być równy zero. Z drugiej strony jeśli lewa strona tego równania jest wielomianem niezerowym, to musi on mieć nieskończenie wiele pierwiastków, co przeczy powyższemu twierdzeniu.
Zatem równanie (1) ma tylko trywialne rozwiązanie (3).

To mieliśmy wykazać.

Jednomiany (0) stanowią więc bazę przestrzeni wielomianów \(\displaystyle{ K_{n}[x]}\) .

[aolo23]

Dziękuję za proste i przejrzyste rozwiązanie, teraz już to "czuję"