Otoczka liniowa

[aolo23]

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie \(\displaystyle{ k}\)elementowym ciałem. Załóżmy, że zbiór\(\displaystyle{ F = \left\{ f_{1},.....,f_{n} \right\}}\) jest
liniowo niezależny. Pokaż, że wtedy zbiór \(\displaystyle{ Lin(F )}\)ma \(\displaystyle{ k^{n}}\) elementów.

Patrzę sie na definicję i sam nie wiem jak formalnie to zapisać (bo nie mogę napisać "bo tak jest")

\(\displaystyle{ Lin(x)=\left\{ \sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}; n \in N , \alpha _{0},... \alpha_{n} \in K, x_{0},... x_{n} \in X \right\}}\)
Gdzie K- to ciało, a X to grupa abelowa.

[Dasio11]

Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ \varphi : K^n \to \Lin(F)}\) dana wzorem

\(\displaystyle{ \varphi( \alpha_1, \ldots, \alpha_n ) = \sum_{i=1}^n \alpha_i f_i}\)

jest bijekcją.

[aolo23]

No dobra, ale jak sie za to zabarać i co mi to da że wtedy będzie to bijekcja?

[Dasio11]

Z definicji.

1. Jak się sprawdza, że funkcja jest różnowartościowa?
2. Jak się sprawdza, że funkcja jest "na"?

Jak już wykażesz, że funkcja jest bijekcją, to z tego będzie wynikało, że zbiory \(\displaystyle{ K^n}\) i \(\displaystyle{ \Lin(F)}\) są równoliczne, czyli mają tyle samo elementów. Ale oczywiście \(\displaystyle{ K^n}\) ma \(\displaystyle{ k^n}\) elementów, więc \(\displaystyle{ \Lin(F)}\) także.