Mam zadanie - wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego i o ile na wektorach to jest spoko, o tyle kompletnie nie wiem jak się zabrać za to na wielomianach. Byłbym wdzięczny za podpowiedzi
Dla odwzorowania \(\displaystyle{ L: R[x] _{1} \rightarrow R[x] _{2}, (Lp)(x) = x^2p'(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ B _{1}, B _{2}}\) - bazy standardowe \(\displaystyle{ (1,...,x ^{k})}\),
\(\displaystyle{ B' _{1} = (p _{1},p _{2}) , p _{1} = 2x + 3 , p_{2} = 3x - 4,
\\B' _{2} = (q _{1}, q _{2}, q _{3}), q _{1} = x^2 + x, q _{2} = x + 1, q _{3} = 1}\)
Wyznacz macierz odwzorowań w bazach standardowych oraz \(\displaystyle{ M _{f}(B' _{1}, B' _{2})}\). Wyznacz \(\displaystyle{ M _{f}(B' _{1}, B' _{2})}\) wykorzystując macierz przejścia.
[/latex] \(\displaystyle{ }\)
Macierz odwzorowania liniowego na wielomianach
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Re: Macierz odwzorowania liniowego na wielomianach
Okej zacznijmy od początku. Wielomany stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach nad danym ciałem (tutaj nie ma napisanego o jakie ciało chodzi, może to być ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych, albo inne, ale nie ma to tutaj żadnego znaczenia) tworzą przestrzeń liniową. Wektorami tej przestrzeni są wielomiany. Tak naprawdę nie ma tutaj żadnej różnicy między przestrzeniami liniowymi, które rozważałeś wcześniej, wszakże wielomian można utożsamić z wektorem (wystarczy wziąć jego kolejne współczynniki i z nich zrobić wektor - to jest reprezentacja wielomianu jako wektor i możesz na to popatrzeć na to zwyczajnie).
Jest tutaj różnica, wymiar przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) wynosi \(\displaystyle{ n+1}\) (bo w wielomianie stopnia \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ n+1}\) współczynników).
Nasze przekształcenie \(\displaystyle{ L}\) przekształca przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) na przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\). Mamy jego wzór, to zobaczmy jak działa dla przykładu:
\(\displaystyle{ p\left(x\right) = 2x+5}\).
\(\displaystyle{ \left(Lp\right)\left(x\right) = x^{2} \cdot 2 = 2x^{2}}\).
To działa jak zwyczajna funkcja: wielomanowi \(\displaystyle{ 2x+5}\) przyporządkowujemy wielomian \(\displaystyle{ 2x^{2}}\).
Zauważmy, że pochodna wielomianu stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) (argumentu \(\displaystyle{ L}\)) będzie stałą (współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x}\), może być 0).
Mamy zadane bazy \(\displaystyle{ B_{1}}\) i \(\displaystyle{ B_{2}}\) (tak zwane bazy kanoniczne).
Chcemy wyznaczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach \(\displaystyle{ B_{1}'}\) i \(\displaystyle{ B_{2}'}\). W tym celu trzeba zrobić 3 rzeczy:
1. Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ M_{L}\left(B_{1},B_{2}\right)}\) przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach \(\displaystyle{ B_{1}}\) i \(\displaystyle{ B_{2}}\).
2. Wyliczyć macierze zmiany baz z \(\displaystyle{ B_{1}'}\) do \(\displaystyle{ B_{1}}\) (\(\displaystyle{ M_{B_{1}'}^{B_{1}}}\)) oraz z \(\displaystyle{ B_{2}}\) do \(\displaystyle{ B_{2}'}\) (\(\displaystyle{ M_{B_{2}}^{B_{2}'}}\)).
3. Policzyć to czego szukamy czyli macierz \(\displaystyle{ L}\) w nowych bazach ze wzoru:
\(\displaystyle{ M_{L}\left(B_{1}',B_{2}'\right) = M_{B_{2}}^{B_{2}'} \cdot M_{L}\left(B_{1}, B_{2}\right) \cdot M_{B_{1}'}^{B_{1}}}\).
Ot i cała filozofia. W razie jakichkolwiek problemów i wątpliwości pisz śmiało, postaram się wyjaśnić i naprowadzić (możliwe, że moje oznaczenia są ciut inne, ale mam nadzieję że się domyślisz).
Jest tutaj różnica, wymiar przestrzeni wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) wynosi \(\displaystyle{ n+1}\) (bo w wielomianie stopnia \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ n+1}\) współczynników).
Nasze przekształcenie \(\displaystyle{ L}\) przekształca przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) na przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\). Mamy jego wzór, to zobaczmy jak działa dla przykładu:
\(\displaystyle{ p\left(x\right) = 2x+5}\).
\(\displaystyle{ \left(Lp\right)\left(x\right) = x^{2} \cdot 2 = 2x^{2}}\).
To działa jak zwyczajna funkcja: wielomanowi \(\displaystyle{ 2x+5}\) przyporządkowujemy wielomian \(\displaystyle{ 2x^{2}}\).
Zauważmy, że pochodna wielomianu stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) (argumentu \(\displaystyle{ L}\)) będzie stałą (współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x}\), może być 0).
Mamy zadane bazy \(\displaystyle{ B_{1}}\) i \(\displaystyle{ B_{2}}\) (tak zwane bazy kanoniczne).
Chcemy wyznaczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach \(\displaystyle{ B_{1}'}\) i \(\displaystyle{ B_{2}'}\). W tym celu trzeba zrobić 3 rzeczy:
1. Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ M_{L}\left(B_{1},B_{2}\right)}\) przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach \(\displaystyle{ B_{1}}\) i \(\displaystyle{ B_{2}}\).
2. Wyliczyć macierze zmiany baz z \(\displaystyle{ B_{1}'}\) do \(\displaystyle{ B_{1}}\) (\(\displaystyle{ M_{B_{1}'}^{B_{1}}}\)) oraz z \(\displaystyle{ B_{2}}\) do \(\displaystyle{ B_{2}'}\) (\(\displaystyle{ M_{B_{2}}^{B_{2}'}}\)).
3. Policzyć to czego szukamy czyli macierz \(\displaystyle{ L}\) w nowych bazach ze wzoru:
\(\displaystyle{ M_{L}\left(B_{1}',B_{2}'\right) = M_{B_{2}}^{B_{2}'} \cdot M_{L}\left(B_{1}, B_{2}\right) \cdot M_{B_{1}'}^{B_{1}}}\).
Ot i cała filozofia. W razie jakichkolwiek problemów i wątpliwości pisz śmiało, postaram się wyjaśnić i naprowadzić (możliwe, że moje oznaczenia są ciut inne, ale mam nadzieję że się domyślisz).