Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.

[superhiro2]

Witam. Mam równanie \(\displaystyle{ B^{T}\!\!AB}\) . Macierz \(\displaystyle{ A}\) to jakaś macierz \(\displaystyle{ 3\times3}\) .
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} x _{1} &x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Czy można liczyć tutaj wyznaczniki?
Wiem że wynik to macierz \(\displaystyle{ 1 \times 1 \rightarrow}\) Wyznacznik, to ta macierz.
Dla \(\displaystyle{ 3 \times 3 \rightarrow}\) też wiem, że można.
Ale czy tak można?
\(\displaystyle{ \det (B^{T}\!\!AB) = \det A \cdot \det (B^{T}\!B)}\)
Teoretycznie nadal liczę wyznaczniki dla macierzy kwadratowych.

[SlotaWoj]

Muszą być nawiasy:

• \(\displaystyle{ \det\left(B^T\!\!AB\right)=\det A\cdot\det\left(B^T\!B\right)}\)

i dopiero wtedy można zastanawiać się, czy ta równość jest poprawna.

[Dasio11]

Jest bardzo niejasne, o co chcesz zapytać.

Mam równanie \(\displaystyle{ B^{T}\!\!AB}\)

To nie jest równanie, tylko iloczyn macierzy.

Czy można liczyć tutaj wyznaczniki?

Liczyć zawsze można, tylko po co?

Ale czy tak można?
\(\displaystyle{ \det (B^{T}\!\!AB) = \det A \cdot \det (B^{T}\!B)}\)

Nie, taki wzór nie zawsze zachodzi.

[superhiro2]

A po co liczy się wyznaczniki dla macierzy stopnia \(\displaystyle{ 1}\) ? Wyznacznik to właśnie ta liczba. W pierwszym poście podałem macierz jednostkową, zamiast macierzy z parametrem. Nie chodziło mi o rozwiązanie zadania.

Chciałem zapytać czy tylko w takiej konfiguracji macierzy zajdzie ta równość.

\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)

Czyli macierz \(\displaystyle{ 3\times1}\) i \(\displaystyle{ 3\times3}\) . Mnożymy tą \(\displaystyle{ 3\times1}\) tyle, że transponowaną, czyli powstaje z niej \(\displaystyle{ 1\times3}\) razy macierz \(\displaystyle{ 3\times3}\) razy macierz \(\displaystyle{ 3\times1}\) . Wynikiem takiego mnożenia na pewno jest macierz \(\displaystyle{ 1\times1}\) , więcej nawet mnożenie macierzy \(\displaystyle{ 3\times1}\) z jej postacią transponowaną daje macierz \(\displaystyle{ 1\times1}\) .

Ukryta treść:    

W poleceniu było, znaleźć wszystkie nieujemne rozwiązania tego iloczynu, a w zadaniu wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 3\times3}\) wychodził \(\displaystyle{ a^{2}-4}\) , więc albo \(\displaystyle{ a ^{2}<0}\) albo \(\displaystyle{ >0}\) , a gdyby ten sposób zadziałał, to \(\displaystyle{ x ^{2}}\) nigdy nie \(\displaystyle{ =0}\) , więc rozwiązaniem jest tylko dodatnia część.

PS. Przepraszam za cytat po postem

Liczyć zawsze można, tylko po co?

No właściwi to nie zawsze można liczyć wyznacznik. Można tylko w macierzy kwadratowej. W innych teoretycznie też można, ale zawsze równa się \(\displaystyle{ 0}\) , można bo to wytłumaczyć tym że, dokładamy kolumny/wiersze uzupełnione zerami, a jak wiemy jeśli wiersz/kolumna się zeruje to wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\) .

[SlotaWoj]

1. Wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ 1\times1}\) się nie oblicza. Wyznacznik takiej macierzy jest dany; jest on równy (jedynemu) elementowi tej macierzy.

2. No właściwi to nie zawsze można liczyć wyznacznik. Można tylko w macierzy kwadratowej. W innych teoretycznie też można, ...

   Nie można, bo wyznacznik jest zdefiniowany jedynie dla macierzy kwadratowych, a dla innych nie i w związku z tym nie istnieje.
   Musisz się podszkolić, bo niematematycznie rozumujesz i możesz „popłynąć” (np. oblać kolokwium).
   Poczytaj jakiś podręcznik do algebry liniowej.

[superhiro2]

Czyli nadal oftopujemy?

A wypowie się może kolega trochę na temat i powie czy:

\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)

To jest poprawnie?

[leg14]

Jest.

[Dasio11]

Żeby można było wykonać mnożenie macierzy \(\displaystyle{ A \cdot B}\) , szerokość \(\displaystyle{ A}\) musi być równa wysokości \(\displaystyle{ B}\) . Z tego powodu oba iloczyny macierzy po lewej stronie równości są niezdefiniowane (więc równość nie tyle jest niepoprawna, co nie ma sensu).

[superhiro2]

O jej. Właśnie teraz uświadomiłem sobie, że sknociłem cały zapis. Faktycznie macierze te z \(\displaystyle{ x}\)–ami miały być odwrotnie, najpierw pozioma potem pionowa.

[Kaf]

Nawet poprawiony wzór nie ma sensu: wyznacznik tego iloczynu wektorów jest zawsze równy zero.

[Dasio11]

To wtedy:

\(\displaystyle{ {\det \left( \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}}\)

i

\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \right) = 0}\) ,

bo kolumny powstałej macierzy są współliniowe, a dokładniej jeśli \(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}}\) , to

\(\displaystyle{ X \cdot X^{\top} = \begin{bmatrix} x_1X & x_2X & x_3X \end{bmatrix}}\) .

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)

To jest poprawnie?

Nie jest, bo mnożenie macierzy nie jest przemienne.