Norma generowana przez pseudo iloczyn skalarny

[PLrc]

Wiadomo, że jeżeli \(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\) jest iloczynem skalarnym, to wtedy
\(\displaystyle{ \left\|v \right\|:=\sqrt{\left<v,v \right>}}\)
definiuje normę. A co jeżeli \(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\) nie jest dodatnio określone? Czy wtedy
\(\displaystyle{ \left\|v \right\|:= \sqrt{\left| \left< v,v\right> \right|}}\)
też definiuje normę? Będzie to spełniało warunki \(\displaystyle{ \left\|v \right\| \Rightarrow v=0}\) i \(\displaystyle{ \left\| \alpha v \right\| = \left| \alpha \right| \left\| v\right\|}\). Co z nierównością trójkąta?

[szw1710]

To, że pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie jest normą, jest równoważne z zachodzeniem nierówności Schwarza. Sprawdź czy można się jej spodziewać w przypadku, który rozważasz.

Sam dowód nierówności Schwarza już na początku angażuje dodatnią określoność: \(\displaystyle{ \langle v-tw,v-tw\rangle\ge 0}\) itd.

[PLrc]

Nie rozumiem, czemu mi każesz to sprawdzać. Przecież tutaj nie mam pierwiastka z iloczynu skalarnego, tylko pierwiastek z wartości bezwzględnej z czegoś, co nie jest iloczynem skalarnym.

[szw1710]

Szukałem przyczyny możliwości zdefiniowania normy w klasycznym przypadku. Zawsze patrzy się co bierze w łeb, jeśli dokonujesz uogólnienia czy bierzesz jakiś analogiczny warunek. Dlatego możesz się zastanowić czy jakiegoś quasi-Schwarza da się dostać czy nie. Oczywiście zawsze możesz zdefiniować sobie taki "iloczyn", który jest nieokreślony i zobaczyć fizycznie czy zachodzi nierówność trójkąta czy też nie.

[a4karo]

Zwykle jest tak, że zanim zada się pytanie, to próbuje się je na dość elementarnych przykładach.
Szkoda, że tego nie zrobiłeś, bo łatwo byś stwierdził, że odpowiedź jest negatywna.
\(\displaystyle{ (x, y) =x_1y_1-x_2y_2}\)

[PLrc]

Ale na co to właściwie jest przykład? Na to, że to nie jest iloczyn skalarny? Na to, że nie da się zdefiniować normy \(\displaystyle{ \left\| v\right\|:=\sqrt{(v,v)}}\)? No wiem, przecież. -_- A w podpisie masz sofizmat: ta funkcja, którą zdefiniowałeś jest tożsamościowo równa 1, więc jej pochodna wychodzi tożsamościowo równa 0.

[a4karo]

Jasne, że to nie jest iloczyn skalarny, bo nie jest dodatnio określony (przecież sam chciałeś ten warunek wyrzucić).

Sprawdziłes, czy \(\displaystyle{ \sqrt{|(v, v)|}}\) spełnia warunki normy?

A w podpisie mam żarcik dla tych, co lubią się bawić w matematykę

[PLrc]

Sprawdziłes, czy \(\displaystyle{ \sqrt{|(v, v)|}}\) spełnia warunki normy?

Warunki \(\displaystyle{ \left\| v \right\|=0 \Rightarrow v=0}\) i \(\displaystyle{ \left\| \alpha v \right\|= \left|\alpha \right| \left\| v \right\|}\) spełnia. Za cholerę nie mogę wykazać, że spełnia nierówność trójkąta, ale wygląda na to, że to jest norma, bo jest generowana przez iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \left<\cdot, \cdot \right>}\) dany wzorem
\(\displaystyle{ \left<x,y \right>:=\begin{cases}(x,y)& x\neq y, \\ \left|(x,y) \right| & x= y, \end{cases}}\)
który już jest dodatnio określony.

A w podpisie mam żarcik dla tych, co lubią się bawić w matematykę

Uff

EDIT Jednak, \(\displaystyle{ \sqrt{|(v, v)|}}\) z \(\displaystyle{ (\cdot,\cdot)}\), zdefiniowanym przez Ciebie nie spełnia warunków, normy, bo dla \(\displaystyle{ v=(x,x)}\) mamy
\(\displaystyle{ \left\|(x,x)\right\|=\sqrt{\left|x^2-x^2 \right|}=0,}\)
a \(\displaystyle{ v \neq 0}\).

[a4karo]

No właśnie.

[Kaf]

Ale zawsze możesz mieć jeszcze półnormę, bo to co napisałeś zajdzie dla każdej formy kwadratowej, która nie jest ani dodatnio, ani ujemnie określona.

Tak na oko, jak weźmiesz przestrzeń ilorazową \(\displaystyle{ X \slash N}\), gdzie \(\displaystyle{ N = \left\{ v \in X \colon \left( v, v\right) = 0 \right\}}\), to forma kwadratowa wyznaczona przez ten "pseudo iloczyn skalarny" przenosi się na \(\displaystyle{ X \slash N}\) i jest tam ujemnie/dodatnio określona, więc jest spełniona nierówność trójkąta, co z kolei daje nam nierówność trójkąta w wyjściowej przestrzeni.

Ale nie chce mi się teraz tego dokładnie sprawdzać, więc mogę się mylić.

[a4karo]

A \(\displaystyle{ N}\) jest przestrzenią liniowa?

[Kaf]

Ajć, na ogół nie. Pomyślałem o formach dwuliniowych i z rozpędu uznałem, że to też musi być przestrzenią liniową.

W takim razie można po prostu zauważyć (jak było wcześniej sugerowane - nie zadałem sobie trudu by to przeczytać, za co przepraszam), że forma dwuliniowa \(\displaystyle{ \left( x, y\right)=x_1y_1-x_2y_2}\) nie spełnia postulowanej nierówności, a w ogólnym przypadku (przez sprowadzenie do postaci kanonicznej) widać też, że jeśli odpowiadająca forma kwadratowa nie jest dodatnio/ujemnie półokreślona, to nierówność trójkąta nie zachodzi.