Pytania o notację, przekształcenia liniowe.

[kwaw]

Pytanie nr 1:
Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie operatorem oraz \(\displaystyle{ \dim\Im F^2 = \dim\Im F}\) . Co oznacza zapis \(\displaystyle{ \dim\Im F^2}\) ? Oznacza to wymiar obrazu \(\displaystyle{ F^2}\) ? Jeśli tak, co jak mam zdefiniować \(\displaystyle{ F^2}\) ? Czy może wymiar \(\displaystyle{ (\Im F)^2}\) ?
Pytanie nr 2:
Niech \(\displaystyle{ F : \RR^3 \rightarrow \RR^3}\) oraz \(\displaystyle{ \Im F = \text{lin} \left(B \cdot\left[\begin{array}{ccc}1&4\\2&5\\3&6\end{array}\right]\right)}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) jest bazą kanoniczną.
Baza jest zbiorem, więc w jaki sposób mam ją pomnożyć przez macierz? Jak powinienem to interpretować?

Dziękuję i życzę Wesołych Świąt.

[janusz47]

1.
Oznacza wymiar obrazu operatora (przekształcenia) \(\displaystyle{ F^2 = F\cdot F}\) .

2.
Jeśli zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest bazą kanoniczną, to aby można go było pomnożyć z lewej strony przez macierz wymiaru \(\displaystyle{ 3\times 2}\) musi być wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 3}\) .

Życzę również reszty Spokojnych, Wesołych Świąt.

[kwaw]

Dziękuję.

Mam jeszcze pytanie o 1:
Niech \(\displaystyle{ v \in V}\) oraz \(\displaystyle{ a \in K}\)
\(\displaystyle{ F^{2}(av) = aF^{2}(v)}\), ale mamy też \(\displaystyle{ F^{2}(av) = aF(v) \cdot aF(v) = a^{2}F^{2}(v)}\)
Czyli \(\displaystyle{ aF^{2}(v) = a^{2}F^{2}(v)}\).

W jaki sposób mam mnożyć wektory? Przecież w przestrzeni wektorowej takiego działania nie ma.
Czy po prostu mam z tego wysnuć wniosek, że \(\displaystyle{ a = 0}\) ?

[Premislav]

Tu nie chodzi raczej o podnoszenie do kwadratu, tylko o złożenie przekształcenia \(\displaystyle{ F}\) z samym sobą, tj.
dla \(\displaystyle{ v \in V}\) mamy \(\displaystyle{ F^2(v)=F\left( F(v)\right)}\)