Sprawdź czy odwzorowanie jest liniowe

[jujon123]

Witam potrzebuję pomocy z tym zadaniem

Czy odwzorowanie \(\displaystyle{ T:\RR^2 \rightarrow \RR^3,\ T(x_1,x_2) = (x_1+10x_2, 5x_1-8x_2, -7x_1+6x_2)}\) jest liniowe

Znam te 2 warunki na odwz. liniowe, ale nie potrafię ich zastosować. Może ktoś mi pomóc?

[szw1710]

Pokaż co zrobiłeś i z czym masz kłopot.

[jujon123]

To są te warunki: [ciach]
Pierwszy nie wiem jak rozpisać kompletnie. Wiem, że mam przejść z prawej do lewej, ze jakos tam to sie podstawia, ale jak?

Drugi warunek robi sie bardzo prosto.

\(\displaystyle{ T( \alpha x_1, \alpha x_2) = (\alpha x_1 + \alpha 10x_2, 5\alpha x_1-8\alpha x_2, -7\alpha x_1+6\alpha x_2)= \alpha(x_1+10x_2, 5x_1-8x_2, -7x_1+6x_2)= \alpha T(x_1,x_2)}\)

[a4karo]

Wsk oblicz \(\displaystyle{ T(x_1+y_1,x_2+y_2)}\)

[jujon123]

\(\displaystyle{ T(x_1+y_1,x_2+y_2) =\\= (x_1+y_1+10x_2+10y_2, 5x_1+5y_1-8x_2+8y_2, -7x_1-7y_1+6x_2+6y_2)}\)

I teraz co?

[szw1710]

Oj wykaż trochę aktywności. A zobacz jak ma wyglądać prawa strona sprawdzanego warunku i porównaj sobie.

[jujon123]

\(\displaystyle{ T(x_1+y_1,x_2+y_2) =\\= (x_1+y_1+10(x_2+y_2),5(x_1+y_1)-8(x_2+y_2), -7(x_1+y_1)+6(x_2+y_2))}\)

Trzeba to jakoś rozdzielić na dwa, tj \(\displaystyle{ T(x_1)+T(x_2)}\) ale nie mam pojęcia jak...

Wykazałbym aktywność, gdybym to rozumiał.

[Jan Kraszewski]

Trzeba to jakoś rozdzielić na dwa, tj \(\displaystyle{ T(x_1)+T(x_2)}\) ale nie mam pojęcia jak...

Czemu, zgodnie ze sprawdzanym warunkiem, powinno być równe \(\displaystyle{ T(x_1+y_1,x_2+y_2)}\) ?

JK

[jujon123]

No własnie temu co napisałem tj. \(\displaystyle{ T=(\overline{x_1})+T(\overline{x_2})}\), czy nie?

[Jan Kraszewski]

Zupełnie Ci się znaczki mieszają. Ma być równe

\(\displaystyle{ T(x_1,x_2)+T(y_1,y_2)}\).

Policz zatem tę sumę i sprawdź, czy dostaniesz ten sam wynik.

JK

[jujon123]

Już mi się to totalnie miesza. Wykładowca zamiast \(\displaystyle{ y}\) wprowadził \(\displaystyle{ x_2}\) nie wiem po jakie źdźbło skoro używałem tego przez ostatnie 10 lat w szkole.

Rozumiem, że \(\displaystyle{ T(x_1,x_2)+T(y_1,y_2) = T(x_1+y_1,x_2+y_2)}\)
Po zsumowaniu lewej strony faktycznie wychodzi to sobie równe.

Ale nie rozumiem w jaki sposób 1 warunek kiedykolwiek będzie nie spełniony, skoro jak zrobimy takie podstawienia jak w moim przykładzie to to zawsze będźie zachodzić.


Innymi słowy, jeżeli po prostu zrobie takie podstawienia jezeli chodzi o 1 warunek, to ten warunek zawsze będzie wg mnie spełniony. Nie potrafię podać przykładu, gdzie nie jest.

Natomiast 2 warunek faktycznie może nie zachodzić i mam tutaj przykład:
\(\displaystyle{ T:\RR^2 \rightarrow \RR^3,\ T(x_1,x_2) = (x_1-2x_2-5, 4x_1+3x_2-6, -5x_1+7x_2+2)}\)

I już widze tutaj zależność, jeżeli będziemy mieli jakąś stałą podana jak w tym wypadku, to drugi warunek nie ma prawa zachodzić tj: \(\displaystyle{ T( \alpha x) \neq \alpha T(x)}\)

[Jan Kraszewski]

Ale nie rozumiem w jaki sposób 1 warunek kiedykolwiek będzie nie spełniony, skoro jak zrobimy takie podstawienia jak w moim przykładzie to to zawsze będźie zachodzić.

Np. dla

\(\displaystyle{ T:\RR^2 \rightarrow \RR^3,\ T(x_1,x_2) = (x_1^2-2x_2, 4x_1+3x_2, -5x_1+7x_2)}\)

nie będzie.

JK

[jujon123]

No tak, przez to ze jest tam kwadrat.

A moge wiedziec dlaczego w ogole podstawiamy, to co @a4karo napisał?
Tzn. dlaczego akurat to

[a4karo]

Masz udwzorowanie \(\displaystyle{ T:\RR^2\to\RR^3}\). Jego argumenty to pary \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)}\)

Aby pokazać liniowość musisz pokazać, żę \(\displaystyle{ T(x+y)=T(x)+T(y)}\) Bierzesz więc \(\displaystyle{ x=(x_1,x_2)}\) i \(\displaystyle{ y=(y_1,y_2)}\) i liczysz.

CZym jest \(\displaystyle{ x+y}\)?

[jujon123]

Masz udwzorowanie \(\displaystyle{ T:\RR^2\to\RR^3}\).

A gdybym miał właśnie \(\displaystyle{ T:\RR^2\to\RR^2}\) są takie możliwości? Jak wtedy sie postepuje?