Przestrzeń podwójnie sprzężona(teoria)

[TorrhenMathMeth]

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V^{*}}\) oznaczamy \(\displaystyle{ (V^{*})^{*}=V^{**}}\).
a) Wykazać, że dla każdego wektora \(\displaystyle{ \alpha \in V}\) funkcja \(\displaystyle{ \eta_{\alpha}: V^{*} \rightarrow K}\) zadana równością: \(\displaystyle{ \forall \psi \in V^{*} \eta_{\alpha}(\psi) = \psi(\alpha)}\) jest funkcjonałem liniowym na przestrzeni \(\displaystyle{ V^{*}}\), czyli \(\displaystyle{ \eta_{\alpha} \in V^{**}}\).
b) Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ D: V \rightarrow V^{**}}\) zadana równością \(\displaystyle{ \forall \alpha \in V D(\alpha)= \eta_{\alpha}}\) jest przekształceniem liniowym.
c) Wykazać, że przekształcenie liniowe D z punktu b) jest zawsze monomorfizmem.
d) Wykazać, że jeśli przestrzeń V jest skończenie wymiarowa, to przekształcenie D jest izomorfizmem.

[leg14]

Jakieś pomysły? próby własne?

[TorrhenMathMeth]

Nie bardzo, pustka w głowie. Dopiero co wprowadzili nam to na wykładzie i jeszcze niezbyt rozumiem o co tu chodzi.