Funkcjonały z parametrem

[TorrhenMathMeth]

\(\displaystyle{ V}\) , \(\displaystyle{ W}\) są przestrzeniami liniowymi nad \(\displaystyle{ \RR}\), \(\displaystyle{ A={ \alpha _{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, \alpha_{4} }}\) jest bazą \(\displaystyle{ V}\) , \(\displaystyle{ B={ \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}}}\) jest bazą \(\displaystyle{ W}\) . Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi:V \rightarrow W}\) ma w bazach \(\displaystyle{ A, B}\) macierz:

\(\displaystyle{ M(\phi)^{B}_{A}=\begin{bmatrix}2&1&3&2\\4&2&1&5\\2&1&8&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A ^{*}={ \alpha^{*}_{1}, \alpha^{*}_{2},\alpha^{*}_{3}, \alpha^{*}_{4}}}\) , \(\displaystyle{ B^{*}={\beta^{*}_{1}, \beta^{*}_{2}, \beta^{*}_{3}}}\) są bazami sprzężonymi odpowiednio do \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) .

a) Dla jakich \(\displaystyle{ t \in \RR}\) funkcjonał \(\displaystyle{ t\beta^{*}_{1}+\beta^{*}_{2}+\beta^{*}_{3}}\) należy do \(\displaystyle{ \ker(\phi^{*})}\) ?
b) Dla jakich \(\displaystyle{ s \in \RR}\) funkcjonał \(\displaystyle{ 2\alpha^{*}_{1}+s\alpha^{*}_{2}-2\alpha^{*}_{3}+3\alpha^{*}_{4}}\) należy do \(\displaystyle{ \text{im}(\phi^{*})}\) ?

Ktoś może mi w tym pomóc?