Znaleźć rozwiązanie układu równań korzystając z mac. odwr.

[kylercopeland]

\(\displaystyle{ \begin{cases} kx+y+z=1 \\ x+ky+z=k\\ x+y+kz= k^{2} \end{cases}}\)

Gdy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, znaleźć je korzystając z metody macierzy odwrotnej.

Wyznacznik wyszedł mi \(\displaystyle{ (k-1)^{2}(k+2)}\) , żeby równanie miało jedno rozwiązanie musi zachodzić: \(\displaystyle{ k \neq 1 , k \neq -2}\) . Wiem jak znaleźć rozwiązanie korzystając z wzorów Cramera, jednak kompletnie nie mam pomysłu jak skorzystać z macierzy odwrotnej. Proszę o pomoc.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}k&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\k\\k^2\end{array}\right]}\)


\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{(k-1)^2(k+2)}\left[\begin{array}{ccc}k^2-1&1-k&1-k\\1-k&k^2-1&1-k\\1-k&1-k&k^2-1\end{array}\right]=\frac{1}{(k-1)(k+2)}\left[\begin{array}{ccc}k+1&-1&-1\\-1&k+1&-1\\-1&-1&k+1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ AX=B\\
X=A^{-1}B}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]= \frac{1}{(k-1)(k+2)}\left[\begin{array}{ccc}k+1&-1&-1\\-1&k+1&-1\\-1&-1&k+1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\k\\k^2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=
\frac{1}{(k-1)(k+2)}\left[\begin{array}{c}1-k^2\\k-1\\k^3+k^2-k-1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{-1-k}{k+2} \\ \frac{1}{k+2}\\ \frac{(k+1)^2}{k+2}\end{array}\right]}\)

Wszystkie działania ponownie wykonaj samodzielnie. Przy okazji sprawdzisz czy gdzieś się nie pomyliłem.

[kylercopeland]

Wszystko wyszło poprawnie. Dziękuję.