W zależności od parametru p rozwiąż układ

amadeusz002 · Post autor: **amadeusz002** » 12 gru 2017, o 20:49

Witam, mam problem z układem równań zależnym od parametru \(\displaystyle{ p}\). Nie wiem od czego powinienem zacząć.
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y+(p+1)z=p\\2x+y+z=2p\\(p-1)x-y+z=-p\\x+z=p\end{cases}}\)
Dalej jest podpunkt b, w którym trzeba znaleźć dla jaki \(\displaystyle{ p}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left( p,2,-p,p \right) \in \Lin\left\{ \left( 1,2,p-1,1),\left( 1,1,-1,0\right), \left( p+1,1,1,1\right)\right\}}\) ?
To trzeba zrobić ze współrzędnej wektora w bazie?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 gru 2017, o 21:25

To trzeba zrobić przyglądając się rozwiązaniom układu równań (patrz na kolumny)

Nawiasem mówiąc chyba miało być:
\(\displaystyle{ \left( p,2{\red p},-p,p \right) \in \Lin\left\{ \left( 1,2,p-1,1),\left( 1,1,-1,0\right), \left( p+1,1,1,1\right)\right\}}\)

amadeusz002 · Post autor: **amadeusz002** » 12 gru 2017, o 22:04

Tak, mój błąd. Tam powinno być \(\displaystyle{ \left( p,2p,-p,p\right)}\)
Właśnie póki co, nie bardzo wiem jak mam znaleźć te rozwiązania układu. Chciałem policzyć wyznacznik tego i dla wyznacznika różnego od zera, układ będzie miał rozwiązania, ale wyznacznik jest \(\displaystyle{ 3\times4}\) :/

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 gru 2017, o 22:10

Wsk: Od drugiego równania odejmij czwarte, potem od pierwszego drugie.

amadeusz002 · Post autor: **amadeusz002** » 13 gru 2017, o 18:08

Po odjęciu od drugiego wiersza czwarty zostaje mi \(\displaystyle{ x+y=p}\) . Nie bardzo wiem co mi to daje i co z tym mam zrobić. Gdy mam układ \(\displaystyle{ 3}\) równań z \(\displaystyle{ 3}\) niewiadomymi to liczę wyznacznik i porównuje go do \(\displaystyle{ 0}\) . A co mam zrobić gdy mam macierz \(\displaystyle{ 3\times4}\) ???

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 gru 2017, o 19:45

Czytałeś o rzędzie macierzy? O twierdzeniu Kroneckera-Capelliego?

Odejmij to od pierwszego i zacznij wyciągać wnioski

amadeusz002 · Post autor: **amadeusz002** » 13 gru 2017, o 20:04

z Twierdzenia Kroneckera wynika tylko czy układ ma jedno rozwiązanie, jest sprzeczne albo nieoznaczone. Czyli w tym wypadku mam wziąć dowolny podwyznacznik \(\displaystyle{ 3\times3}\) z tej macierzy i sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ p}\) jej wyznacznik jest różny od zera? Później te \(\displaystyle{ p}\) podstawić do macierzy i sprawdzić czy jest sprzeczne czy nieoznaczony? O to w tym chodzi?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 gru 2017, o 20:30

No właśnie nie dowolny.
Masz znaleźć największy (rozmiarowo) niezerowy minor macierzy podstawowej i rozszerzonej. To oczywiście zależy od parametru. I z tego masz wyciągnąć wnioski.

Sadze, że nie skorzystałeś z mojej wskazówki? Szkoda, bo to upraszcza.

amadeusz002 · Post autor: **amadeusz002** » 13 gru 2017, o 20:41

Właśnie nie rozumiem na czym polega Twoja wskazówka i miło by było gdybyś mógł to rozpisać. Napisałem dowolny \(\displaystyle{ 3\times3}\) wyznacznik ponieważ największy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 3\times4}\) jest właśnie \(\displaystyle{ 3\times3}\) . Oczywiście gdy wszystkie się zerują to szukam wyznacznika \(\displaystyle{ 2\times2}\) , ale wtedy już wiadomo, że układ nie będzie miał dokładnie jednego rozwiązania.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 gru 2017, o 22:03

Jak od pierwszego równania odejmiesz \(\displaystyle{ x+y=p}\) to dostaniesz \(\displaystyle{ (p+1)z=0}\) .

To znacznie upraszcza układ, nie sądzisz?