Wyznaczanie wzoru ogólnego, jądra i obrazu przekształcenia

[tomeek]

Mam problem z następującym zadaniem:

Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[x]_2}\) takie, że \(\displaystyle{ f((1,1,1))=2x^2-3x,\ f((1,2,3))=-3x,\ f((1,2,4))=2x^2-4x}\).
Wyznaczyć wzór ogólny \(\displaystyle{ f((a,b,c))}\), a następnie znaleźć jądro, obraz, wymiar jądra oraz wymiar obrazu.

Wyznaczyłem wzór ogólny w następujący sposób:

\(\displaystyle{ f((a,b,c))=(x_1a+y_2b+z_1c)x^2+(x_2a+y_2b+z_2c)x+x_3a+y_3b+z_3c}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1+y_1+z_1=2 \\
x_1+2y_1+3z_1=0 \\
x_1+2y_1+4z_1=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ {\begin{cases}
x_2+y_2+z_2=-3 \\
x_2+2y_2+3z_2=-3 \\
x_2+2y_2+4z_2=-4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_3+y_3+z_3=0 \\
x_3+2y_3+3z_3=0 \\
x_3+2y_3+4z_3=0\end{cases}}\)

Uzyskałem:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1=6 \\ y_1=-6 \\ z_1=2 \\ x_2=-4 \\ y_2=2 \\ z_2=-1 \\ x_3=0 \\ y_3=0 \\ z_3=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f((a,b,c))=(6a-6b+2c)x^2+(-4a+2b-c)x}\)

Jądro:

\(\displaystyle{ \left\begin{cases}
6a-6b+2c=0 \\
-4a+2b-c=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
b=-a \\
c=-6a\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \ker(f)=\Lin((1,-1,6)) \\
\dim\ker(f)=1}\)

Natomiast mam problem z wyznaczeniem obrazu i określeniem jego wymiaru. Podejrzewam, iż ze względu na to że przekształcenie „wychodzi” z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) i wymiar jądra jest \(\displaystyle{ 1}\) to wymiar obrazu będzie wynosił \(\displaystyle{ 3-1=2}\) . Ale nie wiem jak ten obraz wyznaczyć i nie jestem pewien co do jego wymiaru.